認識連分數 (第 3 頁)

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認識連分數（第 3 頁）

林聰源

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．原載於數學傳播第二卷第三期
．作者當時任教於清大數學系
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§2. 有窮連分數的基本關係式

現在考慮一般有窮連分數的幾個基本關係式。設

$\begin{displaymath} a_0+\frac{1}{a_1} \; \lower1.5ex\hbox{$+$}\; \frac{1}{a_2} \; \lower1.5ex\hbox{$+\cdots+$}\; \frac{1}{a_N} \end{displaymath}$

為任意一個一般的有窮連分數（也就是說 $a_0,a_1,\cdots,a_N$ 為任意非零之實數），由計算易得

$\begin{eqnarray*} {[a_0]} &=& a_0 = \frac{a_0}{1} \\ {[a_0,a_1]} &=& a_0+\frac{... ... =\frac{a_2(a_0a_1+1)+a_0}{a_2a_1+1} \\ [5pt] & & \cdots\cdots \end{eqnarray*}$

一般地

$\begin{eqnarray*}[a_0,a_1,\cdots,a_k]&=& a_0+\frac{1}{a_1}\; \lower1.5ex\hbox{$... ...s+$}\; \frac{1}{a_k} =\frac{p_k}{q_k} \\ [5pt] && \cdots\cdots \end{eqnarray*}$

$\frac{p_k}{q_k}$ 稱為此連分數之第 k 個漸近分數，我們有

公式 1：

$\begin{displaymath} \begin{cases} p_k=a_kp_{k-1}+p_{k-2} & $k \geq 2$ \\ q_k=a_... ...=a_0, \;\; p_1=a_0a_1+1 & \\ q_0=1, \;\; q_1=a_1 & \end{cases}\end{displaymath}$

證明：利用歸納法

$\begin{eqnarray*}[a_0,a_1,\cdots,a_k,a_{k+1}] &=& \left[ a_0,a_1,\cdots,a_{k-1}... ...)+q_{k-1}}\\ &=& \frac{a_{k+1}p_k+p_{k-1}}{a_{k+1}q_k+q_{k-1}} \end{eqnarray*}$

公式 2： $p_nq_{n-1}-p_{n-1}q_n=(-1)^{n-1},\quad n\geq 1$ 。

證明：利用歸納法，n=1 時，

p₁q₀-p₀q₁ = (a₀a₁+1) x 1-a₀ x a₀=1

又

$\begin{eqnarray*} p_{k+1}q_k-p_kq_{k+1}&=&(a_{k+1}p_k+p_{k-1})q_k-p_k(a_{k+1}q_k... ...1}\\ &=&-(p_kq_{k-1}-p_{k-1}q_k)\\ &=&-(-1)^{k-1}\\ &=&(-1)^k \end{eqnarray*}$

公式 3： $p_nq_{n-2}-p_{n-2}q_n=(-1)^na_n,\quad n\geq 2$ 。

證明：利用歸納法，n=2 時，

p₂q₀-p₀q₂=(a₂a₁a₀+a₂+a₀ x 1-a₀ x (a₂a₁+1)=a₂

又

$\begin{eqnarray*} p_{k+1}q_{k-1}-p_{k-1}q_{k+1}&=&(a_{k+1}p_k+p_{k-1})q_{k-1}-p_... ...nus0.1pt{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 31}2)} \end{eqnarray*}$

在實際應用中，我們所遭遇的有窮連分數，就像（丙）式一樣，其中的 a₀ 為整數，a₁,a₂,…,a_N 皆為正整數，此種連分數特稱為簡單有窮連分數。由以上公式，我們可推論出有關此等簡單有窮連分數的幾個基本性質。

推論 1：當 k>1 時， $q_k\geq q_{k-1}+1$ ，故 $q_k\geq k$ 。

證明：由公式 1， $q_1=a_1\geq 1$ ，又

$\begin{displaymath} q_k=a_kq_{k-1}+q_{k-2}\geq q_{k-1}+1 \end{displaymath}$

由歸納法得 $q_k\geq k$ 。

推論 2： $\frac{p_k}{q_k}-\frac{p_{k-1}}{q_{k-1}}=(-1)^{k-1}\frac{1}{q_kq_{k-1}},\quad k\geq 1$

證明：由公式 2，兩邊除以 q_kq_k-1 即得。

推論 3： ${\displaystyle \frac{p_{2k-1}}{q_{2k-1}}>\frac{p_{2k+1}}{q_{2k+1}},\quad \frac{p_{2k}}{q_{2k}}>\frac{p_{2k-2}}{q_{2k-2}}}$

證明由公式 3，兩邊除以 q_kq_k-1，即得

$\begin{displaymath} \frac{p_n}{q_n}-\frac{p_{n-2}}{q_{n-2}}=(-1)^n\frac{a_n}{q_nq_{n-2}} \end{displaymath}$

當 n=2k 為偶數時，右式為正，故得

$\begin{displaymath} \frac{p_{2k}}{q_{2k}}>\frac{p_{2k-2}}{q_{2k-2}}; \end{displaymath}$

當 n=2k+1 為奇數時，右式為負，故得

$\begin{displaymath} \frac{p_{2k+1}}{q_{2k+1}}<\frac{p_{2k-1}}{q_{2k-1}} \end{displaymath}$

推論 4：對所有 $1\leq n\leq N$ ，p_n 與 q_n 互質。

證明：由公式 1 立可得知。

從以上幾個推論，我們知道漸近分數的分母一直增大，而兩相鄰漸近分數之差則愈來愈小。另外，偶數項部分形成單調嚴格上昇數列而奇數項部分形成單調嚴格下降數列，在第4節討論無窮連分數時，這些性質對收斂性非常重要。

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編輯：李渭天 ∕ 繪圖：簡立欣

最後修改日期：4/26/2002