亞基米德的秘密 (第 3 頁)

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亞基米德的秘密（第 3 頁）

李宗元;古學理

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．原載於數學傳播第二卷第一期
．作者當時任教於中央大學應數系;本所編撰
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槓桿原理與球體公式

我們要證明，一個半徑為 r 的球，體積是 $(\frac{4}{3})\cdot \pi r^3$ 。

現在請看圖 1-a，其中的圓，半徑為 r，PABM 是一個邊長為 2r 的正方形。現在我們想像這個圖形繞軸 AB 旋轉一週。這時圖中的圓，繞出一個球來，三角形 AMN 則繞出一個圓錐體，而長方形 PMNQ 則繞出一個圓桶來。

我們看看任意一根與 AB 垂直的直線 XY。它與上半圓的交點是 G，與 AM 的交點是 F。設 $\overline{AZ}=a$ , $\overline{GZ}=b$ , $\overline{ZB}=c$ 。請注意 FZ 也等於 a。當 XY 繞 AB 轉一週時，GZ,FZ,XZ 分別繞出上述三立體（球，錐，桶）的「基本圓片」來。這裏所謂「基本圓片」的意思，就是說，當 XYPQ 移動至 MN 時，這些「基本圓片」，分別依次疊合成上述三個立體。

我們知道 b² = ac,（為什麼？）所以

a²+b²=a(a+c)=2ra,

因此

$\begin{displaymath}2r\cdot \pi a^2+2r\cdot \pi b^2=a\cdot \pi 4r^2.\end{displaymath}$

這個式子說什麼？考慮一個槓桿 UV，其支點為 O， $\overline{OU}=\overline{OV}=2r.$ 上式說，如果我們在 U 點掛上兩個圓片，半徑為 a 和 b，另外在 W 點，（ $\overline{OW}=a$ ），掛上一個半徑為 2r 的圓片，則它們的「重量」正好平衡，也就是說，槓桿不動。

現在我們想像 XY 由 PQ 逐漸移動至 MN。按照上面所說的平衡掛法，半徑為 $\overline{GZ}$ 及 $\overline{FZ}$ 的圓片，一片片地被掛在 U 點，這些不同「重量」的圓片，分別組合成圖1-b中的球和錐，掛在同一點 U 處；同時那些將半徑均為 2r 的圓片，一片片地被掛在不同的 W 點下。隨著 XY 的移動，W 點由 O 移至 V。因此我們有同「重量」的圓片，平均地掛在 OV 下。根據基本力學知識，這就相當於將全部重量，掛在 OV 的中點 C 處。這全部的「重量」，就是我們圖1-b中的圓桶。

從圖1-b的「平衡圖」來看，我們馬上根據槓桿原理，得到

$\begin{displaymath} 2r \cdot (\mbox{{\fontfamily{cwM7}\fontseries{m}\selectfont ... ...t \mbox{{\fontfamily{cwM6}\fontseries{m}\selectfont \char 66}} \end{displaymath}$

但是，錐 $=(\frac{1}{3})$ ．桶（為什麼？請做習題 1），所以 2r．球 $=(r-\frac{2r}{3})$ ．桶。因為桶的體積是底乘高，於是

$\begin{displaymath} \mbox{{\fontfamily{cwM7}\fontseries{m}\selectfont \char 55}}... ...66}} = \frac{1}{6}\pi\cdot 2r \cdot (2r)^2 = \frac{4}{3}\pi r \end{displaymath}$

這個方法是不是很奇妙？你看懂了這個證明後，一定也能做習題 2。槓桿原理的應用，並不祇限於旋轉體的體積，讀者可看 3 書中一個求面積的例子。

習題 1. 證明：錐 = $(\frac{1}{3})$ ．桶。你可以用 4 文中所謂的「胖子原理」，比較一個錐和那裏所謂的陽馬。

習題 2. 圖2中的拋物線，如繞 ab 軸旋轉一週，其所得旋轉體的體積為

$\begin{displaymath}V=\frac{1}{2}\pi r^2 l,\end{displaymath}$

試用槓桿原理證明之。

參考資料

S.H. Gould（古學理）：The method of Archimedcs, Amer. Math. Monthly, 62(1955), 473-476.
B.L. van der Waerden: Science Awakening, P. Noordhoff, 1954.
Morris Kline: Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford Univ. Press, 1972.（本文中有關歷史部份大多採自此書）。
李宗元：〈祖沖之、球體公式及其他〉，《數學傳播》第一卷第四期，六十六年三月。

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編輯：洪瑛 ∕ 校對：黃信元

最後修改日期：4/26/2002