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．原載於數學傳播第一卷第四期
．作者當時任教於中央數學系
•註釋
祖沖之、球體公式及其他
李宗元
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．原載於數學傳播第一卷第四期 ．作者當時任教於中央數學系 •註釋 | ||
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祖沖之、球體公式及其他
李宗元 |
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月球表面上有許多「湖」，「海」，「火山口」，其中一個「火山口」，曾被現代西方科學家定名為祖沖之「口」。祖沖之（公元430∼501）是我國南北朝時代的人，他倒底是何許人，有什麼貢獻，如此受人敬重，甚至在月球上也割了一塊地給他？ 關於祖沖之的生平，《科學月刊》六十四年四月號陳勝崑先生「祖沖之」一文中有詳細的記載。其他的現代資料，有錢寶琮的《中國算學史》以及李約瑟的《中國科學與文化》（第三冊）兩項權威著作。 祖沖之是劉宋時代最傑出的數學家、天文學家。他曾修訂曆法（被用過一段時期，以後改朝換代，曆法也隨之改了。）他從天文的觀察中，得到一些極精確的計算。例如他曾算得月球繞地球一周為時 27.21223 天，這與現代公認的 27.21222 天，幾無相差。憑這一點地就該當得上月球榮譽公民了。
祖沖之的另一項成就，是他對圓周率 π 的精密計算。這裏先要一提的是，在西方亞基米德（公元前250年）已經得到過 
小的叫「朒數」，大的叫「盈數」。同樣精確的近似值，在歐洲要到1593年才由 Vieta 得到，他的數值恰好是朒數和盈數的中間值。
這裏我附帶一句，歷史上先後有很多人做過π的計算。在我們現在看來，這種計算本身並沒有多大的數學價值，（尤其是在π被發現是無理數之後。）但是 π 的歷史，至少能夠反映出當時社會的科技進步程度。我國科學，本來就不如文史之受重視，等到八股時代，地位更低，先人的科技貢獻多被遺忘，所以到明清時代，一般所用π的數值，竟然退步到 祖沖之這些精確的計算，到底用的是什麼方法，我們已經無法知道。他寫過一本《綴術》，一定是當時最艱深的數學巨著，因為以後《隋書》中會提到這書，說「學官莫能究其精奧。是故廢而不理」。可惜這書早已失傳，李約瑟書中曾提到過：《綴術》的最後一些版本，竟被後世的文人用來作為草稿紙，在上面練字！ 這裏只有一點猜測可以一提。數值計算方法中，有一種叫做 Divided difference 的方法，在我國早已有之，叫做「招差法」。根據李約瑟說，最遲在公元665年左右，李淳風在製造曆法時已經用過，但其創始可能更早。錢寶琮曾根據一些歷史資料，判斷說祖沖之天文計算上的方法，就是這個「招差法」。懂得一點 Divided difference 的人，大概也會同意，至少「綴」這個字，似乎和 Divided difference 的技巧多少有點貌似。 下面我要介紹的，是祖沖之證明球體體積公式的方法。本文取材自 T. Kiang 寫在《Mathematical Gazette》中的一篇文章。至於原始資料出自何處，Kiang 文中並未提及；筆者對中國數學史本無研究，這次匆促成文，也沒有去查一查錢寶琮的書。但本文的主旨不在歷史或考證，希望讀者原諒。祖沖之的證明，只用了簡單的數學，但其過程可說是既精彩又曲折，同時還顯示了一些數學的精神以及數學中美麗的技巧（數學中也有令人厭惡的技巧）。這樣令人拍案驚奇的證明，本應廣為傳播，更何況它是我們一干五百年前祖先的發現！
讀者或許可以允許我再嚕嗦一些才進入正題。大家都讀過，半徑為 r 的圓，其面積 A(r) 是
我這裏要提一提的是，雖然微積分可說是牛頓等人的產品，但是其中積分的精神和涵義，在東方和西方卻都早已有之。西方的亞基米德，對積分的意義早有清楚的瞭解及某種程度的運用。至於積分的一般方法及技巧，才是要等到微分理論的建立以後始得系統化（此所謂 "Fundamental Theorem of calculus"）。我要強調的是，祖沖之的證明，當然有積分的精神，但並不需要（也不可能要）用到微積分的方法。下面我要用到的積分的基本原則，可以如下表之（一般書中稱之為Cavalieri's principle）：
兩個胖子一般高，
平行地面刀刀切； 刀刀切出等面積， 兩人必然同樣胖。 這個「胖子原理」當然也適用於平面上的面積，我們不再重述。一個平行四邊形的面積，就是與它同底等高的長方形的面積；這可說是這個原理最簡單的應用。
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| 編輯：康明軒 ／ 校對：鄧惠文 ／ 繪圖：張琇惠 | 最後修改日期：4/26/2002 |
