祖沖之、球體公式及其他 (第 2 頁)

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祖沖之、球體公式及其他（第 2 頁）

李宗元

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．原載於數學傳播第一卷第四期
．作者當時任教於中央數學系

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祖沖之的證明

我們現在要求一個半徑為 r 的球體體積。祖沖之說，讓我們來考慮另外一個立體：我們想像一刀一刀平行地切過去，在球上我們切得一個個不同大小的圓，我們現在把這每一個圓，改換成它的外切正方形，（我們要這些正方形的邊都互相平行），這樣得出來的一個立體，是一層層大小不同的正方形重疊而成的，祖沖之叫它做牟合方蓋。

圖1(a)

圖1(b)

圖1 顯示了半個球和它的牟合方蓋，（以及一些遺留的刀痕）。一般人家中用來罩菜的紗罩，好像就是這樣的半個牟合方蓋。

每個圓和它的外切正方形，面積上的比例是 π:4。因此，根據上面「胖子原理」的一個明顯的引申（請你將它具體地敘述一下），我們馬上看出如下的體積關係：

$\begin{displaymath}\mbox{{\fontfamily{cwM7}\fontseries{m}\selectfont \char 55} :... ...mily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 81}}= \pi :4 \eqno(1)\end{displaymath}$

因此你如果能求出牟合方蓋的體積，你就得到了球的體積 ^註2 。現在就讓我們來朝這個方向走。

圖2(a)中 NOACB 是八分之一的牟合方蓋，我們現在希望求它的體積。請注意曲線 NA 和 NB 都是半徑為 r 的圓的部份：它們上面的點，是每刀所截的圓與其外切正方形的相切點，所以這些點都在我們的球上。但是 NC 卻不是：它是每個正方形尖端的軌跡。（又 ON=r 而 $OC=\sqrt{2}r$ ）。

圖2(a)

圖2(b)

我們現在再要經過一番曲折。這八分之一的方蓋，正好可以放在一個邊長為 r 的正方盒 NGGEFACBO 中，如圖2(b)。在方盒之內，但在 NOACB 之外的部份，我們暫且叫它作「蓋外」。因此

$\begin{displaymath}\frac{(\mbox{{\fontfamily{cwM12}\fontseries{m}\selectfont \ch... ...\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \char 213}} \eqno(2)\end{displaymath}$

現在我們來看看這個「蓋外」的體積，請諸位看看圖3(a)，這只是2(b)的放大，另加連攔腰一刀（刀面距底為 h）

圖3(a)

圖3(b)

上面所說的這一刀，從盒上斬得正方形 TUVY（面積 r²），從我們的八分之一的方蓋上，斬得正方形 TXYZ（為什麼是正方形？）假如這個正方形邊長是 x，那麼因為 OX=r,OT=h,XT=x, 再加上這一刀是垂直於 ON 的，所以畢氏定理告訴我們

r²-x²=h²

也就是說，距底面為刀的這一刀，從「蓋外」所斬得的面積 XYYZWVU 的面積)，恰好是 h²。

最後一個重要的觀察：下圖4中的立體，身高為 r，每一垂直於 EC，距 C 點為 h 高的截面，是一個邊長為 h 的正方形。（所以 CEF 和 CEG 是等腰直角三角形，但 CNG 和 CNF 不是）。這個立體，在我國古書中稱作陽馬。

圖 4

圖 5

為什麼叫陽馬我不知道。根據上一段的觀察，（「胖子原理」又一次上陣），我們馬上可以知道

$\begin{displaymath}\mbox{{\fontfamily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 81}\h... ...\fontfamily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 239}} \eqno(3)\end{displaymath}$

因此我們只要能求出陽馬的體積就成了。這一點，我們古書中早已提到過：三個同樣的陽馬，剛好湊成一個正方盒！這裡你可能需要一點透視能力：如圖 5 中的方盒，可以折成下列三個同等的陽馬：

8-1234, 8-1357, 8-1256

（其中 8-1234表示以8為尖端，1234為方頂的陽馬）。你如果覺得看不清楚，不妨自己做三個陽馬模型來拼拼看。

因此我們圖4中陽馬的體積是

$\begin{displaymath}\mbox{{\fontfamily{cwM9}\fontseries{m}\selectfont \char 185}\... ...family{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 239}}=\frac{r^3}{3}\end{displaymath}$

從(2)、(3)兩式，我們得到

$\begin{displaymath}\mbox{{\fontfamily{cwM12}\fontseries{m}\selectfont \char 132}... ...amily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 81}}=\frac{16r^3}{3}\end{displaymath}$

最後從(1)式，我們便看出

$\begin{displaymath}\mbox{{\fontfamily{cwM7}\fontseries{m}\selectfont \char 55}}=\frac{4\pi r^3}{3}\end{displaymath}$

你覺得這個證明奇妙嗎？數學中常有這類的情形發生：要求的東西，一時無法求出，但動動腦筋，有時可以找到一個有關聯而又可求的新東西出來。這個過程，我們上面用了兩次：球→牟合方蓋一次，蓋外→陽馬又一次。

: 1.陳勝崑：祖沖之 (中國科學家列傳之一)，科學月刊 (六十四年四月)。
: 2.錢寶琮：《中國數學算史》，1932年，中央研究院出版。
: 3.Joseph Needham: 《Science and Civilization in China》, Vol.3, Cambridge Univ. Press.
: 4.T. Kiang: "An Old Chinese Way of Finding the Volume of a Sphere". Math Gazette, Vol. LVI, No.396, May 1972.

補註

這篇文章寫完後，翻閱了一下舊的《數學傳播》，其中第一卷第二期就有三處談到了橢圓的面積公式（pp.87, 104, 172-173）。其實要向中學同學談橢圓面積並沒有什麼困難，最簡單的方法就是這個最直覺的「胖子原理」。如圖8，我們比較一個長軸 a 短軸 b 的橢圓和一個半徑 b 的圓。注意一平行長軸的直線，從橢圓和圓上分別截得 LL' 和 MM'。

圖8

圖9

從橢圓和圓的方程式，我們很快地看出

LL' : MM' = a : b

因此根據「胖子原理」明顯的引申，我們馬上得到下面的面積關係

$\begin{displaymath} \mbox{{\fontfamily{cwM16}\fontseries{m}\selectfont \char 158... ...ontseries{m}\selectfont \char 198}}=\frac{a}{b}\pi b^2=\pi ab. \end{displaymath}$

同樣的方法也可以算出橢圓體(圖9)

$\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\end{displaymath}$

內包的體積。任意一z=t的平面，從這立體上截得一橢圓：

$\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2(1-\frac{t^2}{c^2})}+\frac{y^2}{b^2(1-\frac{t^2}{c^2})=1}\end{displaymath}$

其面積為（根據剛剛得到的公式）

$\begin{displaymath}\pi \frac{ab}{c^2}(c^2 -t^2).\end{displaymath}$

同一平面在 x²+y²+z²=c² 的球中，截得一圓：

x²+y²=c²-t²

其面積為

$\begin{displaymath}\pi (c^2-t^2)\end{displaymath}$

因此任一上述的平面，從橢圓體和球上分別切出的面積均成

ab:c²

的比。再利用「胖子原理」的引申，我們就知道，橢圓體內所包的體積是

$\begin{displaymath} \mbox{{\fontfamily{cwM16}\fontseries{m}\selectfont \char 158... ... \frac{ab}{c^2} \cdot \frac{4}{3}\pi c^2 = \frac{4}{3}\pi abc. \end{displaymath}$

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編輯：康明軒 ∕ 校對：鄧惠文 ∕ 繪圖：張琇惠

最後修改日期：4/26/2002