數值估計兩講

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．原載於數學傳播第一卷第一期
．作者當時任教於台大數學系

數值估計兩講

楊維哲

第一講、量的估計
第二講、一些數值計算的注意事項

第一講、量的估計

# 1 數學是數的科學，而「數」，則是「量」的抽象化。數 3 是三個人，三個蘋果，三隻小豬……這樣子抽象出來的。

所有的科學，配得上稱為科學的，不論是自然科學或社會科學，都是研究「一些變量之間的函數關係」的學問，這些變量都必須經過度量 (measurement)變成數，才能數學地處理。這樣子「量化」之後變量 (variate) 變成了變數 (variable)。變量是在一個範圈內變動的，它所能取的一個值，叫量。

# 2 度量必須經由一個單位的取定才可能。要度量 A，就用個單位 B，若 A 是好幾個 B 合成的，就記 A=mB，m 是整數。這是直接度量；也就是「計數」(counting)，計數出來的一定是自然數，這數就是這量 A 依 B 為單位時的數值。

# 3 若 A,B 均是 C 的整數倍，A=mC,B=nC，則 $A= (\frac{m}{n})B$ ，這是間接度量。若 B 是單位，則 A 是 B 的有理數倍；這樣的量 A 及量 B 是可共度的(commensurable)。

如果一個變量的所有可能的量都是可共度的，而且可以找出一個共同的基本單位，使得這變量的一切數值都是自然數，這變量就是個離散變量。例如：某校學生之逐日出席人數是個離散變量；某個稅捐稽徵分處每月之稅收也是離散的（「元以下的不算？」）。

可以計數的數通常是離散量，在英文中可用來回答「How many?」

你是否可以舉些離散的變量的例子？電量應該是離散的（到目前為止的物理學告訴我們電子與正子之電量是最基本的單位），考試的分數也是。（我覺得計算分數時堅持要算到小數點以下純是自欺欺人，其實，分成 A，B，C，D，F 五等也就夠了）。

# 4 跟離散相對的就是連續。在直線上有個點集 S，若 S 的各點可以分隔開來，那 S 是個離散集，若 S 是個區間，連綿不斷，就是個連續集，本來的意思是這樣。所以，例如說，整數座標的點全體是離散的。可是我們由此而引伸它的意思：如果間隔都是某個基本單位的整倍數，才叫做離散的。所以離散的情形，一切間隔都是可共度的；但其逆不真。譬如說，以有理數為座標的點全體，P，不是離散的，雖然它也不是連續的。

# 5 講個題外話，連續集的發現，要算是 Pythagoras（畢達哥拉斯；即畢氏定理的發明人）；因為他最先發現有理數系不是連續集：他發現直線上的點座標不必都是有理數，為什麼？由他的勾股弦定理，正方形之對角線比邊長為無理數 $\sqrt{2}$ 。他因為高興，更因為怕觸怒造化，殺了 m 頭牛，n 頭羊祭拜玉皇大帝！

# 6 所謂連續跟離散其實有密切的關聯。這有兩層意思，首先，連續量的度量就牽涉到離散化；這就是說，對於連續度量，若由單位 B 去度量 A，則一般地， $A= \alpha B$ ，α 是實數，卻可以不是有理數，「即 A,B 不可共度」。在概念上，就必須利用極限；亦即 α 用有理數來迫近。

在實際生活中，量度的精細程度總是有個限制；所以把一切量都近似地看成「實用最小單位」的整數倍，這裡「實用的最小單位」是設備所允許的精細程度。這就是說，連續的變量，近似地說就是離散的了。

# 7 實際上，離散的東西也可用連續的來迫近；電量的實用的最小單位如「庫侖」比微視的基本單位如「電子的電荷」大了太多倍。這個情形可以這樣子理解：在一直線上，想像有個基本單位 e，那麼，（取定原點 O 之後）變量只能用點 ne 來代表，n 是整數，但若 e 非常小，那麼在任何宏觀的一段上，都是含有密密麻麻的許多點，好像就是一整段條線段了！水是由離散的分子構成的，但表面看起來是連續的！

微積分是研究連續現象的工具，但是它在離散的情形也有用途，道理就在此。

# 8 現在再談度量的常識。先必須強調，除了離散的量之外，連續的量，絕對精確簡直只是理想──乾脆說，是幻想。許多人總說數學是精確科學，不能談近似，事實上數學分析就是要精確地研究「近似」。度量通常只是近似值，「即使是離散的量如電量，在日常生活中，你也沒有辦法用電子的電荷作單位去計數！」

# 9 要度量一個量，首先要做的是先大約估計它的大小。先界定粗略的範圍，這就是大小尺度 (order of magnitude) 的問題。為此我們先複習所謂數的科學記法 (scientific notation) 或冪數記法 (exponential)：

把	383	記為	3.83 x 10²
	68000	記為	6.8 x 10⁴
	0.000068	記為	6.8 x 10^-5

# 10 對於任何數量問題，最重要就是確定尺度大小，也就是確定到相差在十倍以內。我們舉幾個這種例題。

: [例] 人的頭髮有幾根？
: [解] 頭髮之間距設為 1mm，因此 1cm² 上有100根，頭表面生髮的區域約為15cm × 15cm，因此，約為 2 x 10⁴ 根頭髮，不會小於 2 x 10³ 根，也不會大於 2 x 10⁵ 根。

# 11

: [例] 氣體分子直徑與分子間距大小之比如何？
: [解] 今在 1 mole，即（常態下）22.4 公升中有 6 x 10²³ 個分子，每個分子勢力範圍約為 $\frac{22.4 \times 10^3 \mbox{cm}^3}{(6 \times 10^{23})}$ $\cong 4 \times 10^{-20}\mbox{cm}^3$ ，即分子間距為 $\sqrt[3]{4\times10^{-20}}$ $\cong 3\times 10^{-7}$ cm。分子直徑約為 2 x 10^-8。因此：分子間距約可容 15 個分子直徑。

# 12

[例] 人體有多少細胞？

[解] 若設細胞尺度為 10^-5m，體積 $\cong 10^{-15} \mbox{m}^{-3}$ （你在浴池中用 Archimedes 原理估計；入池後水漲了多高？浴池面積？）故約有 10¹⁴ 細胞。

另法：人體之比重約為 1，而重量 50 公斤，約 $5\times10^4 \mbox{g} \cong 5\times10^4 \mbox{cm}^3$ ，故約 5 x 10¹³ 個細胞。

[問 1] 人之一生平均起來，一個鐘頭值多少錢？（美國人為 $\cong$ U.S. $\$ 0.50$ )

[問 2] 臺北市的垃圾一年有多少？

# 13 剛剛所說的尺度問題解決了；再下來的問題是近似程度的問題。

一般說來，某量或數的真正值是 A，而近似值是 a 時， $a-A= \Delta a$ 稱為近似值 a 的誤差，在許多問題中，誤差的正負值並不計較，而逕稱誤差的絕對值 $\vert\Delta a\vert$ 為誤差，實際的觀測中，量的真值也許顯現出來，但是我們並不能辨識，因而也不能判斷誤差的正確值，但我們常常能夠（用某種辦法）確定 $\vert\Delta a\vert \leq \epsilon_a$ ──這種正數 $\epsilon_a$ 稱為近似值 a 的誤差邊界。於是真值 A 的範圍就是

$\begin{displaymath} a- \epsilon _a \leq A \leq a+\epsilon _a \end{displaymath}$

這個式子常寫為 $A=a \pm \epsilon_a$

譬如，用最小刻劃單位是公分 (cm) 的捲尺，丈量長度時，某段距離 xm 的端點著落在捲尺的公分的標度間，經過四捨五入的處理後，得到的讀數是 6.35m，那麼 x 的近似值就是 6.35m，誤差邊界是 0.005m。

# 14 [相對誤差] 測定 50cm 和 50m 的距離時，如果誤差同為 5mm，那麼誤差雖然相同，但是在這兩個測定中，精確的程度顯然不同，而須要有比較的標準。

誤差 $\Delta a$ 和真實的比值 A 的絕對值，稱為相對誤差，而 $\frac{\epsilon_a}{A}$ 稱為相對誤差的邊界。這些數值一般用百分比來表示。

實際的測定中，真值並不知曉，所以常以近似值 a 代替真值 A， $\vert\frac{\Delta a}{a}\vert$ 作為相對誤差， $\frac{\epsilon_a}{a}$ 作為相對誤差的邊界。絕對誤差的邊界表示「正確性」，而相對誤差的邊界則表示測定的「精確度」

: [問] 下列的測定值的相對誤差的邊界，求出來而以 % 表示，比較二測定值的精確度。
(1)1m $\pm$ 1mm
(2)20cm $\pm$ 1mm

# 15 近似值的修整 (round off) 和有效數字。在近似值的計算中，如出現下列的數值 6.357892 $\pm$ 0.006，誤差的數值只到小數點後第三位的 6，那麼近似值的小數點後第 4 位和以下的數值並無意義。這時，小數點後第三位四捨五入得到的 6.36 是適當的近似值。

如此，誤差的邊界一經取定後，近似值就隨之而取較簡單的數值，這種手續稱為修整，並且把近似值經修整後所得的新值與原值的差之絕對值稱為修整誤差。

作近似值的修整時，所遵循的法則為：對近似值的某一位置進行四捨五入操作，這位置是在誤差邊界第一個不為零的數字所在（如果它大於或等於 5）；或則它的下一位數字（如果它小於 5），並且修整的結果所得的近似值的誤差邊界是原近似值的誤差邊界以及修整誤差的和。

[例 1] 6.357892 $\pm$ 0.006 修整後得 6.36：因為 $6 \geq 5$ ，故 6.357 四捨五入得 6.36。修整誤差是 |6.36-6.357892|=0.002108，四捨五入後變為 0.002，因此 6.36 的誤差邊界為 0.006+0.002=0.008，所以修整後的近似值成為 6.36 $\pm$ 0.008。

[例 2] 2.71828 $\pm$ 0.002，因為 0.002 的 2 小於 5，所以把 2.7182 四捨五入得 2.718，修整誤差是 0.00028 四捨五入的值 0.0003。2.718 的誤差邊界為 0.002+0.0003 = 0.0023。修整後的近似值成為 2.718 $\pm$ 0.0023。

經過修整後，將原近似值的無意義的數字去除，而餘下的數字稱為有效數字，如上面所說的，6.36 和 2.718 的 6,3,6 以及 2,7,1,8 都是有效數字，有效數字亦即可以信賴的數字。

[註] $x \cong 0.0045$ 的有效數字是 4,5。小數點後的兩個零並不是有效數字，又 $x \cong 0.360$ 中在最後一位的「0」是有效數字，萬不可寫為 $x \cong 0.36$ 。

[問] 將下列近似值修整，並求出有效數字。

: (1) 0.2386 $\pm$ 0.001
: (2) 5.87027 $\pm$ 0.005
: (3) 64.388 $\pm$ 0.08

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近似值的和、差、積、商所生的誤差（#16 ～ #21）

設一組數值為 A,B,…，對應的近似值為，a,b,… 對應的誤差為 $\Delta a$ , $\Delta b$ ,…，對應的誤差邊界為 $\epsilon_a$ , $\epsilon _b$ ,…。

從這些近似值，我們欲求出和、差、積、商，並且探討所生的誤差。 # 16

[和] S=A+B+C，近似值 s=a+b+c，誤差 $\Delta s$

$\begin{eqnarray*} \Delta s &=& s-S = (a+b+c)-(A+B+C) \\ &=& (a-A)+(b-B)+(c-C) = \Delta a+\Delta b+\Delta c , \end{eqnarray*}$

所以

$\begin{displaymath} \vert\Delta s\vert \leq \vert\Delta a\vert+ \vert\Delta b\ve... ...ert \leq \epsilon _a + \epsilon _b + \epsilon _c \eqno {(1)} \end{displaymath}$

[例] 三角形三邊，a,b,c，經測量後得：

a = 57.1cm $\pm$ 0.1cm， b = 31.4cm $\pm$ 0.1cm， c = 40.5cm $\pm$ 0.1cm

試求出三角形的周界長。

[解]
周界的近似值 =57.1+31.4+40.5= 129.0，周界的誤差界限 =0.1+0.1+0.1= 0.3，所以，周界長寫 129.0cm $\pm$ 0.3cm，經過修整得 129.0cm $\pm$ 0.3cm

[問] a = 2465 $\pm$ 0.5,b = 38.64 $\pm$ 0.005,c = 108.54 $\pm$ 0.005，求出 a,b,c 的和

# 17

[差] 對於真值 S=A-B，近似值 s=a-b，誤差

$\begin{eqnarray*} \Delta s &=& (a-b)-(A-B) \\ &=& (a-A)-(b-B)=\Delta a-\Delta b , \end{eqnarray*}$

故

$\begin{displaymath} \vert\Delta s\vert \leq \vert\Delta a\vert + \vert\Delta b\vert \leq \epsilon_a +\epsilon_b \eqno {(2)} \end{displaymath}$

[問] 一直線上三點 P,Q,R 依序排列，PQ 和 PR 線段的長經測定後為 PQ= 4.3cm $\pm$ 0.05cm，PR= 7.7cm $\pm$ 0.05cm，試求線段 QR 的長。

# 18

[積] 對應於真值 A,B 的積 S=AB，近似值 s=ab，誤差

$\begin{eqnarray*} \Delta s &=& s-S=ab-AB=ab-(a-\Delta a)(b-\Delta b)\\ &=& a \Delta b +b \Delta a- \Delta a \Delta b \end{eqnarray*}$

因為 $\Delta a$ , $\Delta b$ 和其他兩項比較值很小，可以略去不計，而

$\begin{displaymath} \Delta s \cong a \Delta b +b \Delta a \eqno(1) \end{displaymath}$

又在(1)式兩端除以 ab，就得相對誤差的邊界 $\frac{\Delta s}{s}$ 為

$\begin{displaymath} \vert \frac{\Delta s}{s}\vert \leq \vert \frac{\Delta a}{a}\... ...rt \leq \frac{\epsilon _a}{a} + \frac{\epsilon_b}{b} \eqno(2) \end{displaymath}$

[例] 求出半徑為 r = 1.9cm $\pm$ 0.05cm 的圓的面積。此處，圓周率 π = 3.14 $\pm$ 0.002；

[解] $\pi r^2=\pi \times r \times r=3.14 \times 1.9^2 = 11.3354$ ，它的相對誤差的邊界有

$\begin{displaymath} \frac{0.002}{3.14} + \frac{0.05}{1.9} + \frac{0.05}{1.9} < 0.00064+0.03+0.03 = 0.06064 \cong 0.061 \end{displaymath}$

的關係，所以，絕對誤差的邊界有 11.3354 x 0.061<0.7 從而面積為 $11.3354 \mbox{cm}^2 \pm 0.7 \mbox{cm}^2$ 。上式經過修整得 $11 \mbox{cm}^2 \pm 1 \mbox{cm}^2$ （答）

[問 1] 直徑 a 為 13.5cm $\pm$ 0.05cm 的圓的圓周有多長？此處 π = 3.14 $\pm$ 0.002。

[問 2] 試求出長為 18.4cm $\pm$ 0.05cm，寬為 12.8cm $\pm$ 0.05cm，高為 2.3cm $\pm$ 0.05cm 的長方體的體積。

# 19

[商] 對於真值 A,B 的商 $S= \frac{A}{B}$ ，近似值 $s = \frac{a}{b}$ ，誤差

$\begin{displaymath} \Delta s =s-S= \frac {a}{b} - \frac{A}{B}= \frac {a}{b} - \f... ...b(b-\Delta b)}= \frac {b \Delta a- a \Delta b}{b^2-b \Delta b} \end{displaymath}$

分母中的 $b \Delta b$ 項與 b² 比較，它的值很小，可以忽視不計，因而

$\begin{displaymath} \Delta s \cong \frac {b \Delta a-a \Delta b }{b^2} \eqno(1) \end{displaymath}$

又在(1)式兩端以 $\frac{a}{b}$ 除之，則得相對誤差的邊界 $\frac{\Delta s}{s}$ 有

$\begin{displaymath} \vert\frac{\Delta s}{s}\vert \leq \frac{\epsilon_a}{a} + \frac{\epsilon_b}{b} \eqno(2) \end{displaymath}$

的關係式

[例] 當 A = 7.624 $\pm$ 0.0005,B = 8.3 $\pm$ 0.05，試求出 $\frac{A}{B}$ 的值。

[解] $7.624 \div 8.3 = 0.9185 \cdots$ 的相對誤差的邊界是

$\begin{displaymath} \frac {0.0005} {7.624}+ \frac {0.05}{8.3} < \frac {0.0005}{7}+ \frac {0.05 }{7} = \frac {0.0505}{7} < 0.0073 \end{displaymath}$

所以絕對誤差的邊界 0.9185 x 0.0073<0.0073，因而所求值為 0.9185 $\pm$ 0.0073，再經修整 0.92 $\pm$ 0.01（答）

[問 1] 長度為 18.2cm $\pm$ 0.05cm 的細繩，圍成一圓，此圓的直徑多長？此處，圓周率 π = 3.14 $\pm$ 0.002。

[問 2] 水銀柱高度是 76cm 的壓力是 1 氣壓，問水銀柱高度為 58.9cm $\pm$ 0.05cm 時壓力是多少氣壓？

# 20 總括起來對於若干個近似值而言，加減後所得的近似值的誤差邊界小於各對應的近似值的誤差邊界的和，而由乘除所得的近似值的相對誤差的邊界則小於各對應近似值的相對誤差邊界的和。

這個結論對於近似計算的處置很重要。涉及許多近似值的計算，若只對其中幾個要求得很苛刻精確，常是徒勞無功的，因為只要有一個粗鹵的近似值，就破壞了答案的精確性。

在處理若干數值的近似值的計算中，為使所得的答案維持在誤差邊界，原來的各數值的近似值要怎麼擇取是一個問題。通常我們採取 [誤差等分原理] 在答案中所要求的絕對誤差（或相對誤差）邊界，常均分配給和差（或乘除）的各項。

[例 1] a=3.154287,b=0.054328,c=15.07457,d=2.375253 時要求 a+b+c+d 到小數點後第二位有效，對 a,b,c,d 各值應如何裁剪而使答案符合所求？

[解] 第四位小數四捨五入，則 a,b,c,d 之誤差邊界為 0.0005，所以 a+b+c+d 之誤差邊界為 0.002。

[註] 9 個以下的數值的和，求到小數點後第 n 位時，各數從小數點後第 n+2 位四捨五入而各數的和則從第 n+1 位四捨五入即可。同樣的道理我們推知，凡是從若干數值求出有效數字為 n 個的積或商時，就從各數值的 n+1 個有效數字所裁剪而得的數值計算即可。

[例 2] 邊長為 1m 的正方形的外接圓周長多少？圓周長是 $\pi \sqrt{2}$ m，若要用近似值 $\sqrt{2} = 1.4142...$ 及 $\pi = 3.1415926...$ ，代入計算，應如何剪裁？我們要求精確到 cm 止，今 s 約為 3 × 1.5 = 4.5m，故 $\frac{1 {\small\mbox{cm}}}{4 {\small\mbox{m}}}$ 約為 $\frac{1}{500}$ = 0.002 之相對誤差，π 及 $\sqrt{2}$ 均允許 0.001 之相對誤差，因此即取 π = 3.142， $\sqrt{2} = 1.414$ ，而得積 = 4.442788，再從此積的小數點後三位以下四捨五入得積 = 4.44m（答）

[例 3] 某不規則形的鐵塊，約重 400 克，體積約為 50cm³，在 0.5 % 的誤差邊界內，欲求出這鐵塊的比重，則體積及重量各應在什麼樣的誤差邊界內即可？

[解] 以 d,w,v 各表示比重、重量、體積。 $d=\frac{w}{v},w,v$ 的測定值須滿足下列的不等式

$\begin{displaymath} \frac{\epsilon_d}{d} \leq \frac{\epsilon_w}{w} + \frac{\epsilon_v}{v} \leq \frac{0.5}{100} \end{displaymath}$

因為重量測量的精確度遠大於體積測量的精確度，取重量的精確度為全體精確度 $\frac{0.5}{100}$ 的 $\frac{1}{10}$ ，即 0.05 %，則體積的精確度為 0.45 %

$\begin{displaymath} \frac{\epsilon_w}{w} \leq \frac{0.05}{100}, \quad \frac{\epsilon_v}{v} \leq \frac{0.45}{100} \end{displaymath}$

從而，

$\begin{eqnarray*} \epsilon_w & \leq & 400 \times \frac{0.05}{100} = 0.2 \mbox{{\... ...eq & 50 \mbox{cm}^3 \times \frac{0.45}{100} = 0.225 \mbox{cm}^3 \end{eqnarray*}$

所以，重量的誤差邊界為 0.2 克而體積的誤差邊界為 0.2cm³ 時即可測出所求的比重（到所需精確之程度），本例並不死板地採用誤差等分原理！

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編輯：楊佳芳 ∕ 校對：楊佳芳 ∕ 繪圖：張琇惠、簡立欣

最後修改日期：4/26/2002