數值估計兩講 (第 2 頁)

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數值估計兩講（第 2 頁）

楊維哲

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．原載於數學傳播第一卷第一期
．作者當時任教於台大數學系
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第二講、一些數值計算的注意事項

# 1 在上一講中，已經講了很多近似值計算，我們現在要談一些日常生活中（i.e. 考試中）要注意的計算技術。

大家都知道現在工技進步很快，幾年內，我想計算器 (calculator) 就會很普及了。因為這緣故，時常有人主張念數學不必計算，「重要的只是概念」。我要指出，概念只是「高級的計算」而已。而計算則是數學的根本。我們不必每題都算到小數點以後五位數字，但是，念數學一定不能偷懶，隨時都要算，依著題目的需要，算到相當程度。

最初等的，（「第0步」）是大小程度之估計，這在前面已講過了。這是最重要的！

向來工程師用計算尺計算，計算尺是利用對數原理的。通常，首數不是死板的，拉計算尺來算 (甲) 3.76 x 2.46 x 9.8 $\div \sin57^{\circ}$ ，跟算(乙) 0.376 x 0.0246 x 98000000 $\div \sin57^{\circ}$ ，拉的過程完全一樣。換句話說，小數位要自己定，定錯了的話，你的計算就報銷了！

最初略的估算是 (甲) 4 x 2 x 10 $\div0.7$ 近似於 $80 \div 0.7$ ，約在100上下；(乙) 則是 $0.4 \times 0.02 \times 10^3 \div0.7$ $= 8\cdot10^5 \div0.7$ ，近似10⁶。

如果小數位點錯了，答案就「離譜」了。時常有人說「我只是小數位點錯了，其它都對」。我說，「其它都可以不看，小數位是非看不可的！」

# 2 如果答案是 6.148 x 10³，那麼，除了指數 3 最重要之外，其次最重要的就是 6，依次才是 1,4,8, 這是天經地義的事。如果在 7 位數字 6148924 中，「只錯了一個字 6」，你就差不多報銷了。

我在這裡提出我的一個方法，一個很不正統的計算方式；一切計算，從左邊開始！

$\begin{displaymath} \begin{array}{llll} &3.76&&\\ \times&2.46&&\\ \hline &6.12... ...family{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 17})}&& \end{array}\end{displaymath}$

其實，更正確的是

$\begin{displaymath} \begin{array}{rr} &61200\\ &14000\\ &12240\\ &2800\\ &18... ...\ \hline &82496\\ &10\,\,\,\quad\\ \hline &92496 \end{array}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \begin{array}{llll} &3.76&&\\ \times&2.46&&\\ \hline &6&--... ...\,\,\,\,36&--&6\times6\\ \hline &8.2496&&\\ &10&& \end{array}\end{displaymath}$

如果你多練習幾次，並養成隨時估計的習慣，你就會算的跟自右算起一樣快了。

我這辦法有壞處：比起通常的算法，通常稍慢些；但是

: (1)它是多了一道手續，確因而也不必去記進位，因此可減少錯誤!!
: (2)你隨時隨地停下來，都可以得到近似值。

後面這點特別重要。 3.76 x 2.46，取三位有效數字是 9.25，照我們正確的辦法，作了六個乘法相加，就得到 9.18了，誤差才千分之七，作三個乘法得 8.6 誤差也不到一成!!

# 3 上面說到後一點，還有心理學上的根據，如果一個問題要加個二十次，或者乘二十次，剛開始的運算還不容易出錯；越後面越危險。所以，應該是越到後來做的事情越不重要才對：早上起來精神好，應該念數學！「當然有的人是『夜光鳥』，那是例外！」

# 4 對於計算，還有個原則是活用！你想想你有沒有活用過「可交換率」？

一堆數字做和，你會不會先把 2 跟 8，3 跟 7，9 跟 1，……湊成10？ 37 x 3 = 111，則 37 x 12 = 444，為什麼？

做乘法時，5 與 2 的倍數先湊，25 與 4 的倍數先湊！

# 5 人人都會證

(10a+5)²=100(a+1)a+25

但是你會活用嗎？

$\begin{displaymath} \begin{eqalign} 25^2 &= 625 \\ 35^2 &= 1225 \\ 45^2 &= 202... ... [\qquad]25 \\ ( 15 \cdot 16 &= 30\cdot8 = 240 ) \end{eqalign}\end{displaymath}$

# 6 另一個公式是 (a+b)(a-b)=a²-b²

$\begin{displaymath} \begin{array}{ccccc} 78\times82&=&80^2-2^2&=&6396\\ 91\time... ...\ 63\times67&=&65^2-2^2&=&4221\\ &&\cdots\cdots&& \end{array}\end{displaymath}$

平方數，從 11²=121 到 19²=361（圍棋盤上的點數）都要會背，那麼 171 x 169=28899。

# 7 以下再講近似算法──這跟前面的誤差論有點關係，而且跟以後的微分學更有關係！二項式公式

$\begin{displaymath} (1+x)^n\equiv1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2+\cdots+x^n \end{displaymath}$

若 x 很小，例如 $x=1\%$ ，則 x²=10^-4 了，所以當 n 不太大時，例如 n=5 或 6，則這公式的前兩項已經正確到小數點下第二位，即

$\begin{displaymath}(1+x)^n\cong1+nx\end{displaymath}$

例如 $(1.005)^6\cong1.03$ 。

這個公式很管用，其實在 n 為分數時，也通的！例如 $n=\frac{1}{m}$ , $m=2,3,4,\cdots$ 則 $(1+x)^{\frac{1}{m}}$ 意思是 (1+x) 開 m 次方記之為 1+y，則 y 必很小，而且 (1+y)^m=1+x，即

$\begin{displaymath} 1+x\cong1+my,\quad y\cong\frac{x}{m} \end{displaymath}$

故

$\begin{displaymath} (0.98)^{\frac{1}{2}}=(1-0.02)^{\frac{1}{2}}\cong 1-0.01=0.99... ...ily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \char 44}}99^2=9801\mbox{]} \end{displaymath}$

$\sqrt[5]{1000}=?$ ， 32²=1024=2¹⁰=4⁵，故 $\sqrt[5]{1024}=4$ ，而

$\begin{eqnarray*} \sqrt[5]{1000}&=&(1024-24)^{\frac{1}{5}}=4\cdot(1-\frac{24}{10... ... &\cong&4(1-\frac{24}{5100})\cong4(1-\frac{1}{200})=4-0.02=3.98 \end{eqnarray*}$

這最後的例子有這個意思：為什麼記的是 $(1+x)^n\cong1+nx$ ？這才好記嘛！但是碰到 (a+b)ⁿ，若 $\frac{b}{a}$ 很小，（即是 $b\ll a$ ），就用

$\begin{displaymath} (a+b)^n=a^n(1+\frac{b}{a})^n\cong a^n(1+\frac{nb}{a})=a^n+na^{n-1}b \end{displaymath}$

「你不用背這個新公式！」

# 8 特例之一是 n=-1，即
$(1\pm x)^{-1}\cong1\mp x$ （當 |x| 很小的時候）[這從 $\frac{1}{1+x}-(1-x)=\frac{x^2}{1+x}\cong x^2$ 可看出。] 而 $\frac{1}{0.99}\cong1.01$ 誤差約 10000 分之一。

# 9 我順便再做個註解。數學家不應該說「十幾塊錢」，「一萬多」。

從 10.01 到 19.99 或者，從11到19，快差到一倍!!你可以說「九十多元」這樣誤差只近原來所指數目的一成。但是「11元」就說「11元」！或者說「十元出頭」讓我知道是靠近11，不是靠近19。

# 10 我再說明一個例題 $\sin61^{\circ}=?$

$\begin{displaymath} \sin61^{\circ}=\sin(60^{\circ}+1^{\circ})=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos1^{\circ}+\frac{1}{2}\sin1^{\circ} \end{displaymath}$

問題在 $\cos1^{\circ}$ 與 $\sin1^{\circ}$ 。

我們知道 $\cos$ 和 $\sin$ 都是連續函數，因此，θ 接近 0 時， $\cos\theta$ 和 $\sin\theta$ 分別接近於 $\cos0=1$ 與 $\sin0=0$ ，問題是如何個接近法？

我們現在先比較 $\frac{\sin\theta}{\theta}$ 在 θ 接近 0 時的行為，查表也很有趣：

$\begin{displaymath} \begin{eqalign} 1^{\circ} &= \frac{\pi}{180}\cong0.017453 \... ...tfont \char 25})} \\ \sin1^{\circ} &\cong 0.017, \end{eqalign}\end{displaymath}$

故

$\begin{displaymath} \begin{eqalign} \frac{\sin1^{\circ}}{1^{\circ}} &\cong \und... ...frac{\sin1'}{1'} &\cong \underline{\hspace{3em}}, \end{eqalign}\end{displaymath}$

我們要說明，當 $\vert\theta\vert$ 很小時， $\frac{\sin\theta}{\theta}$ 比 1 小，但是差不太多，用數學的式子來寫就是 $\lim_{\theta\rightarrow0}\frac{\sin\theta}{\theta}=1$ ，讀作：「θ 趨近 0 時， $\frac{\sin\theta}{\theta}$ 趨近 1」。

上式也可以用如下的方法來證明。我門來看圖，並考慮扇形及兩個三角形面積 $\frac{1}{2}\theta$ , $\frac{1}{2}\sin\theta\cos\theta$ , $\frac{1}{2}\tan\theta$ ，就知道：當 $0<\theta<\frac{1}{2}$ 時， $0<\frac{1}{2}\sin\theta\cos\theta<\frac{1}{2}\theta<\frac{1}{2}\tan\theta$ ，即 $0<\cos\theta<\frac{\theta}{\sin\theta}<\frac{1}{\cos\theta}$ 。（於是取倒數） $0<\cos\theta<\frac{\sin\theta}{\theta}<\frac{1}{\cos\theta}$ 但在 $-\frac{\pi}{2}<\theta<0$ 時，上式也成立，因為上述各函數均為偶函數。

因為 θ 趨近 0 時， $\frac{1}{\cos\theta}$ 及 $\cos\theta$ 均趨近 1，而 $\frac{\sin\theta}{\theta}$ 夾在 $\frac{1}{\cos\theta}$ 與 $\cos\theta$ 之間，故 $\frac{\sin\theta}{\theta}$ 也趨近 1（這是所謂挾擊原則）。

同意了這點，那麼在 θ 很小時， $\sin\theta$ 可用 θ（弳度）代替 $\cos\theta$ 呢？因為 $1-\cos\theta=2\sin^2\frac{\theta}{2}$ ，約為 $2(\frac{\theta}{2})^2=\frac{\theta^2}{2}$ ，故 $\cos\theta$ 可用 $1-\frac{\theta^2}{2}$ 代替。

事實上

$\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} 1^{\circ}&\cong&0.017453\\ 1-\frac{(1^{\... ...}\\ \cos1^{\circ}&=&0.9998\underline{\hspace{3em}} \end{array}\end{displaymath}$

與

$\begin{displaymath} \frac{[1-\frac{(1{\circ}^2)}{2}]}{\cos1^{\circ}}\cong\underline{\hspace{3em}} \end{displaymath}$

在我們的例子，若用

$\begin{displaymath} \sin61^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\times1+\frac{1}{2}\times0.0175\cong0.866+0.009=0.875 \end{displaymath}$

已經準確到三位數字了！

這個想法是三角函數微分法的出發點：若 θ 很小（用弳度），則

$\begin{displaymath} \begin{eqalign} \sin(a+\theta) &= \cos\theta\sin a + \sin\th... ...sin a + \theta\cos a & \cong \sin a+\theta\cos a \end{eqalign}\end{displaymath}$

亦即， $\sin\theta$ 用 θ 代替， $\cos\theta$ 用 $1-\frac{\theta^2}{2}$ （或甚至 1）代替。

[習算]

$\begin{eqnarray*} &&\tan44^{\circ}50'=?\\ &=&\frac{\sin(45^{\circ}-10')}{\cos(4... ...neq0]\\ &\cong&\frac{1-0.00291}{1+0.00291}\cong1-0.00582=0.9942 \end{eqnarray*}$

# 11

[考驗] 解方程式 x¹⁰+7x-1000=0

[解]因 2¹⁰=1024，我猜 $x\cong2$ ，畢竟 x=2 時， f(x)=x¹⁰+7x-1000=24+14=38，才佔了 4% 之誤差而已。x=2 則 f(x)>0（「過頭了」），故可以猜 x=2(1-y)，y 是正數，很小，則

$\begin{eqnarray*} f(x)&=&2^{10}(1-y)^{10}+7\times2(1-y)-1000\\ &\cong&1024\cdot(1-10y)+14-14y-1000\\ &=&38-10254y \end{eqnarray*}$

因 f(x)=0，所以 $y\cong\frac{38}{10254}\cong\frac{40}{10000}=0.004$ ，而 $x\cong2(1-0.004)=1.992$
答：x=1.992 為其一近似解。

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編輯：楊佳芳 ∕ 校對：楊佳芳 ∕ 繪圖：張琇惠、簡立欣

最後修改日期：4/26/2002