八、圓錐截線的故事 (第 5 頁)

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《基礎幾何學》

八、圓錐截線的故事（第 5 頁）

項武義

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．作者任教於香港科技大學數學系

‧註釋
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五點定一「二次曲線」和六點共在一「二次曲線」的條件

在初等幾何中有兩個熟知的事實，即兩點定一直線和不共線三點定一圓。若改用解析觀點來看，上述幾何事實與直線和圓的方程式中系數比的個數是密切相對應的。亦即

直線方程： $Ax+By+C=0 \;$

中具有兩個相互獨立的系數比 {A:B, A:C}；

圓方程： $A(x^2+y^2)+2Dx+2Ey+F=0 \;$

中具有三個相互獨立的系數比 {A:D,A:E,A:F} 。再者，運用線性方程組的基礎理論，我們還可以用行列式直接寫下三點共線和四點共圓的坐標條件式，即

P_i(x_i,y_i), $1\leq i\leq 3$ , 三點共線的條件是

$\begin{displaymath} \left\vert \matrix{ x_1 & y_1 & 1 \cr x_2 & y_2 & 1 \cr x_3 & y_3 & 1 \cr } \right\vert =0 \end{displaymath}$

P_i(x_i,y_i), $1\leq i\leq 4$ , 四點共圓的條件是

$\begin{displaymath} \left\vert \matrix{ x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \cr x_2^2+... ...y_3 & 1 \cr x_4^2+y_4^2 & x_4 & y_4 & 1 \cr } \right\vert = 0 \end{displaymath}$

同樣理由，我們也有下述六點 $\{P_i(x_i,y_i),\, 1\leq i\leq 6\}$ 共在一個二次曲線上的代數條件是

$\begin{displaymath} \left\vert \matrix{ x_1^2 & x_1y_1 & y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 ... ...r x_6^2 & x_6y_6 & y_6^2 & x_6 & y_6 & 1 \cr } \right\vert =0 \end{displaymath}$

因為它就是存在有不全為零的系數組 {A,B,C,D,E,F} 使得

$\begin{displaymath}Ax_i^2 +Bx_iy_i+Cy_i^2 +Dx_i+Ey_i+F=0,\quad 1\leq i\leq 6 \end{displaymath}$

的充要條件。假如我們把 $\{(x_i,y_i),\, 1\leq i\leq 5\}$ 想成是取定者，而把 (x₆,y₆) 想成是變動者，而且改用符號 (x,y)，則上述六階行列式也就是過 $\{P_i(x_i,y_i), \, 1\leq i\leq 5\}$ 這五點的唯一二次曲線的方程式。這也就是「五點定一二次曲線」的代數表述。

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最後修改日期：6/19/2004