八、圓錐截線的故事 (第 2 頁)

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《基礎幾何學》

八、圓錐截線的故事（第 2 頁）

項武義

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．作者任教於香港科技大學數學系

‧註釋
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圓錐截線的光學性質

為什麼把上面所說的特殊點 F₁, F₂ 和拋物線的 F 叫做焦點呢？這種名稱根源于橢圓、雙曲線和拋物線的下述光學性質，即如 [圖 8-6]、 [圖 8-7]、[圖 8-8] 所示。

$\begin{displaymath} \begin{xy} \xyimport(5,5){\epsfxsize =5cm \epsfbox{fig0806.eps}}*\frm{} ,(0.55,1.9)*+{F_2} ,(4.5,1.9)*+{F_1} \end{xy}\end{displaymath}$

[ 圖 8-6 ]

$\begin{displaymath} \begin{xy} \xyimport(5,5){\epsfysize =4.5cm \epsfbox{fig0807.eps}}*\frm{} ,(0.63,2.16)*+{F_2} ,(4.32,2.16)*+{F_1} \end{xy}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \begin{xy} \xyimport(5,5){\epsfysize =4.5cm \epsfbox{fig0808.eps}}*\frm{} ,(1.8,2.2)*+{F} \end{xy}\end{displaymath}$

[ 圖 8-7 ] [ 圖 8-8 ]

以上各點在 Apollonius 的論著中都有詳細的幾何証明。茲簡述在橢圓情況的証明如下（其餘兩者的証明則留作習題）：

令 P 為橢圓 Γ 上任意給定點。如 [圖 8-6 $'\,$ ] 所示，過 P 點作 F₂PF₁ 外角的角平分線 $\ell$ ：

$\begin{displaymath} \begin{xy} \xyimport(5,5){\epsfxsize =6cm \epsfbox{fig0806a.... ....05)*+\{F'\} ,(4.9,3.27)*+{\ell} ,(0.6,0.35)*+{\Gamma} \end{xy}\end{displaymath}$

[ 圖 8-6' ]

現証明 $\ell$ 和 Γ 相切于 P 點，亦即 $\ell$ 上任何相異于 P 之點 P' 皆在橢圓 Γ 之外，即 $\overline{F_2P'}+\overline{P'F_1} > \overline{F_2P}+\overline{PF_1}$ 。茲証之如下：

$\begin{displaymath} \begin{xy} \xyimport(5,5){\epsfxsize =6cm \epsfbox{fig0806b.... ... ,(4.45,3.73)*+{\scriptstyle P'} ,(0.6,0.35)*+{\Gamma} \end{xy}\end{displaymath}$

[ 圖 8-6'' ]

如 [圖 8-6''] 所示，在 F₂P 線上取 F' 使得 $\overline{PF'}=\overline{PF_1}$ ，則有 $\bigtriangleup P'PF_1\cong \bigtriangleup P'PF'$ (S.A.S.) 。由此即得

$\begin{eqnarray*} \overline{F_2P}+\overline{PF_1}&=&\overline{F_2P}+\overline{PF... ...F_2P'}+\overline{P'F'} \\ &=& \overline{F_2P'}+\overline{P'F_1} \end{eqnarray*}$

由此易証 F₁P, F₂P 兩者和在 P 點的法線 (normal line) 所成的角度必定相等（亦即：入射角 = 反射角）。

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最後修改日期：6/19/2004