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微積分入門 (第 2 頁)


 
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.原載於數學傳播第七卷第三期
.作者任教於交通大學工業工程與管理科學系
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連續與極限

微積分最基本的概念是連續與極限。歷史顯示古希臘的哲學家已有極限的概念。但是他們未能由這些概念發展出任何有用的技巧,因此沒有什麼突破性的進展。數學史上記載著微積分上的一些概念零星間斷地發展著。直到十八世紀,人們對物理科學上變量的研究,和解析幾何上求曲線切線問題的研究,終於促成微積分的誕生。從此,數學由對常量的研究邁入對變量研究的新階段。牛頓和萊布尼茲發明微積分,並非閉門造車,憑空杜撰出來,而是將前人的研究經過整理而成。由於微分比積分較容易學習,目前一般微積分教科書都是先教微分,然後再探討積分。但是站在歷史的觀點來說,積分的研究發展實遠比微分來得早,例如古希臘的阿基米德早曾使用窮盡法來求拋物線和圓所圍成的面積,他的基本想法非常接近現代「積分」的過程。

微分和積分兩種技巧原先是分別地發展著,牛頓和萊布尼茲對微積分的最大貢獻是「微積分基本原理」的創立。 也就是發現「求面積問題和求切線問題,在何種意義是互逆的?到底確實的關係是怎樣的呢?」 「微積分基本原理」的意義是:一、找出微分和積分(求面積的問題)的關係; 二、把求曲線y=f(x)的面積的問題改成:「求一函數F(x)使 $\frac{dF(x)}{dx}$=f(x)」的問題。 後一個問題比求面積容易得多。由於這一定理的出現,人們總算認清了一個事實: 只要把求切線的幾何方法提高到一個抽象的層次,就可以統括從前求切線、求速度和求極大、極小的各種技巧, 並且還能與求面積的問題取得聯繫。

十七世紀的偉大科學家伽利略極力強調實驗和理論的重要性。伽氏認為哲學的目的是在了解自然的法則,唯有從仔細的觀察,良好的設計分析試驗中才能得到,而這些法則只有藉著數學的幫助才能表達出來。伽利略曾經大量地應用了數學理論來研究力學,因此運動物體的數學描述變成了一個熱門的問題。微積分正是描述物體動態的有力工具,藉著它的強大威力,科學家們在自然科學和工程學上獲得一連串的成就。數學本身由於過速發展的結果,在理論基礎上顯得不夠嚴謹。十八世紀的數學發展提供數學家許多新的技巧,並且教導數學家從觀念性的角度去了解問題。在第五章中,作者對於微積分的理論基礎進行了嚴謹性的修補。

本書較引起爭論的地方是人名和專有名詞的引用問題。筆者一向主張將外國人名或名詞一律改譯成中文,例如Newton譯成牛頓,Galileo譯成伽利略,或Archimedes譯成阿基米德。如果我們一直用Newton, Galileo或Archimedes而不用中譯,總覺得文句中老是參雜英文而不夠中文化。當然最大的問題是譯名的統一有待加強。從歷史上可見到,每次有外來文化與本土文化融合(如佛經的翻譯)必然會遭遇一些名詞如何翻譯的問題。筆者認為康教授在寫書時,若能將常見的名詞或人名用中文表達,會使讀者閱讀起來更為方便。

筆者一直認為,大學各科系所開課程的教科書都有中文本,才是我國科學生根的具體步驟。然而,編寫教科書的工作卻不為國人所重視。一般人認為編寫教科書只需東抄西剪,而忽略了這一重要工作背後所應具備的廣博知識,以及一本好的教科書對學生學習效果的助益。另一方面,編寫教科書在實質上遠不如做研究有利可圖,不但可申請國科會補助,同時也可出國參加會議來得風光。因此,編寫教科書常處於有力者無心,而有心者無力的尷尬局面,大學生們也只好繼續硬著頭皮生吞活嚥著英文本,吸收似懂非懂的知識。事實上,在一個學術環境健全的國家,對於往上成長和往下紮根應同等的重視,從事研究和教科書寫作並行不悖才對。假若我們國家能有更多類似康教授的專家學者能為大學課程寫出各種的教科書,則國內的大學生就有福了。在此也深望康教授能繼續為我們寫出更多數學教科書,使學子們不再視數學如「天書」。

   

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編輯:謝易達 / 校對:黃怡碧 最後修改日期:3/18/2003