冪級數

Power Series

 

 

冪級數在微積分中是個重要的題材,許多重要的函數可表成冪級數,而冪級數全體也代表了相當廣泛的函數類別。

冪級數形式上是個無窮多項式,通常依變數 x 的升冪順序來表示: $a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n + \cdots$ (更一般,則以 x-x0 代替 x0xA141x0 為一固定的數。) 冪級數之間的四則運算就像多項式那樣,而函數在其冪級數表示的絕對收斂範圍內,要求其積分與微分也很簡單,只要分項求其積分與微分,再做線性和就好。Newton 式的微積分可說就是冪級數式的微積分,因為他善用廣義(指數可為分數)二項式展開式,把重要函數都寫成冪級數,再求微分與積分。

在 Newton 的影響下,有一陣子大家把函數等同於冪級數,後來才發現有些函數無法用冪級數表示,而要動用到三角級數或者函數項級數才能表示,有些甚至連廣義的級數也無法表示。另一方面,函數能用冪級數表示,有時也要限制變數 x 的適用範圍,譬如

\begin{displaymath}\sin x = x - \frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{5!}x^5 - \cdots\end{displaymath}

對所有 x 都成立,但

\begin{displaymath}\tan^{-1} x = x - \frac{1}{3} x^3 + \frac{1}{5} x^5 - \cdots \end{displaymath}

卻只有當 $ -1 \leq x \leq 1 $ 時,才成立。

處理函數冪級數表示的一重要課題就是決定適用的範圍。Taylor 定理說,在適當的條件之下, f(x) 可寫成為

\begin{eqnarray*}
f(x) & = & P_n(x) + R_n(x) \\
P_n(x) & = & \sum^{n}_{k=0} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k
\end{eqnarray*}


稱為 f(x)x0n 階 Taylor 多項式。 Rn(x) 則稱為於餘項,其表現法也是一個重要的課題。如果對某個 x 值, $ \lim_{n \rightarrow \infty} R_n(x) = 0 $,則 $f(x)= \lim_{n \rightarrow \infty} P_n(x) $,亦即 f(x) 在此 x 值有如下的冪級數表示:

\begin{displaymath}f(x) = \sum^{\infty}_{k=0} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k \end{displaymath}

所有使此式成立的 x 值,就是 f(x) 之冪級數表示的適用範圍。

關於餘項 Rn 的表示法主要有兩種,微分型餘項與積分型餘項。

微分型餘項為

\begin{displaymath}R_n(x)= \frac{1}{(n+1)!} f^{(n+1)}(\xi) \cdot (x-x_0)^{n+1} \end{displaymath}

ξ 與 n+1 有關,且介於 xx0 之間。而積分型剩餘項則為

\begin{displaymath}R_n(x)= \frac{1}{n!} \int^{x}_{x_0} f^{(n+1)}(t) \cdot (x-t)^n dt \end{displaymath}

用微分型餘項,且取 n=0,則 P0 (x) = f(x0)$R_0 (x) = f'(\xi)(x-x_0)$

\begin{displaymath}f(x) = P_0(x) + R_0(x) = f(x_0) + f'(\xi)(x-x_0) \end{displaymath}

它正是 平均變率定理(或稱平均值定理)。反過來,由平均變率定理可推廣而得 Cauchy 定理,而由 Cauchy 定理又可推得帶有為微分型餘項的 Taylor 定理。

用積分型餘項,且取 n=0,則 P0(x) = f(x0)$ R_0(x) = \int^{x}_{x_0} f'(t)dt $

\begin{displaymath}f(x) = P_0 (x) + R_0 (x) = f(x_0) + \int^{x}_{x_0} f'(t)dt \end{displaymath}

它正是微積分基本定理。反過來,由微積分基本定理,經一再使用分部積分的技巧,就可推得帶有積分餘項的 Taylor 定理。

如果餘項之值很小,則 Taylor 多項式之值就可以用來做為原來函數值之近似值。通常 n 愈大,或 x 愈接近 x0Rn(x) 就愈小。微積分要處理的是 n|x-x0||Rn(x)| 三者的大小變化與彼此之間的關係。這樣就可以知道 n 取多大,|x-x0| 取多小時,|Rn(x)| 就有多少,因此就可知用多項式 Pn(x) 之值來代替函數值 f(x) 會有多準。

以上都是從函數出發,看它如何表成冪級數,反過來從一冪級數出發,則要討論此無窮和有意義的變數範圍,亦即收斂範圍。在收斂範圍內冪級數代表一函數,我們就得更進步研究此函數的性質。承認冪級數為函數,使函數的範圍擴張了許多,其應用性就更強。譬如許多微分方成就可經由假設函數為冪級數而求解。

 
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平均變率定理
微積分基本定理
 

(撰稿:曹亮吉/台大數學系)

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數學條目:函數
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牛頓如何突破微積分學(曹亮吉) 

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編輯:康明軒 最後修改日期:8/30/2001