逼近方法

Approximation Method

 

 

數學經常被描述成一門討論抽象世界(觀念或符號)的學問,但是除了希臘歐氏幾何學的異例,從數學史的觀點來說,不論是早期的各文化發展出來的數學,或是晚近以西方數學為主的數學,其「利用厚生」的色彩,作為現實生活應用的工具的角色,仍然舉足輕重。

以圓周率π為例,「徑一周三」是先民素樸的估計值,祖沖之的約率 $= \frac{22}{7}$,密率 $=\frac{355}{113}$ 也還是實用的近似值。事實上人類要到十九世紀才知道π是一個無理數、超越數。 從實用到抽象的光譜中,一端是「徑一周三」的粗略估計,另一端是像歐拉公式 $e^{i\pi}+1=0$ 般的「理想」等式。

從實用的觀點,過分精確並不是美德,對又快才是目標。在數學中處理這問題的領域,稱為逼近理論與數值分析。將以實數,無窮步驟為本的數學,轉換為以有理數,有限步驟為本的另一種數值數學。通常它的課題常牽涉到兩個層次

(1)逼近的層次:要徹底掌握下列的等式

\begin{displaymath}\mbox{{\MbQ\char 220}\hskip 0.0pt plus0.2pt minus0.1pt{\MbQ\c...
...Q\char 207}\hskip 0.0pt plus0.2pt minus0.1pt{\MeQ\char 207}}(n)\end{displaymath}

其中 n 是可控的參數,而誤差 (n) 會隨著 n 變大而趨近於 0,因此這裡的問題既牽涉到如何構作逼近式,同時也要能瞭解誤差式的性質。最典型的例子是泰勒定理。

(2)效率的層次:同樣的理想數(式)可能有不同的逼近式,怎樣才能在計算的速度上最佳化,也是一個重要的實際課題。

由於逼近顯然牽涉到極限的觀念,因此微積分的課題中提供了基本又豐富的素材。例如:

(1)數的逼近:

\begin{eqnarray*}
\pi & = & 4(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots) \\
...
...c{1}{3}\frac{1}{239^3}+
\frac{1}{5}\frac{1}{239^5}-\cdots) \: ]
\end{eqnarray*}


(後者比前者的逼近的速度要快多了)

(2)函數的逼近式:

\begin{eqnarray*}
e^x &\doteq & 1+x+\frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!}+\cdots+ \fra...
...Q\char 215}\hskip 0.0pt plus0.2pt minus0.1pt{\MbQ\char 118})}\\
\end{eqnarray*}


(3)定積分的數值逼近:以 Simpson 法為例

\begin{eqnarray*}
\int_a^b f(x) dx
&\doteq& \frac{b-a}{3n}(f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)\\
&&+\cdots +2f(x_{n-2})+4f(x_{n-1}))+f(x_n))
\end{eqnarray*}


其中 $a=x_0<x_1<x_2< \cdots < x_n =b$ , $x_i-x_{i-1}=\frac{b-a}{n}$,且 n 為偶數。Simpson 法的誤差會 $ \leq
\frac{(b-a)^5}{n^4}\frac{M_4}{180}$,其中 M4f(4)(x)[a,b] 中的最大值

(4)方程式根的求法:牛頓法, $x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

(5)微分方程的數值解:如歐拉法。

逼近方法所牽涉到的微積分的觀念,包括線性逼近、泰勒定理、插值法與差和分的觀念。

 
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圓周率
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牛頓法
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線性逼近
插值法
差和分
 

(撰稿:翁秉仁/台大數學系)

相關網頁:
數學條目:冪級數
談補間法(王九逵)

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編輯:朱安強 最後修改日期:8/30/2001