積分

Integration

在談積分之前，不得不複習所謂微量的概念。任何一個量都容許些微的變動，比方說，時間是一個量，在某時刻 t 的時候，可以讓 t 再往前走一點點，或者，（假想）往後走一點點，這個「一點點」就是一個微量，通常記成 $\Delta t$ ， $\Delta t$ 可正可負，它的值不必確定，它可以是千分之一、萬分之一、或是更小更小。一般而言，現象通常以一個或多個量來描述，例如在 t 時刻時，某物的位置在 x，或是當密度為 ρ 的時刻，某物所受的浮力為 F 等等。當我們觀察兩個相關的量的時候，其中一個量微微的變化，會影響另一個量也跟著起了微微的變化，也就是說，這兩個微量（的變化）之間是相關的。由於生活中一些具體事物的啟發，我們因此專注在理解兩個微量之間的比值。比方說 $\frac{\Delta x}{\Delta t}$ ，又由於 $\Delta t$ 的大小並不確定，我們因此發展了一個令 $\Delta t$ 趨近於 0 的（求極限）處理方式，記成

$\begin{displaymath} \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt} \end{displaymath}$

稱為 x 對 t 的微分。如果了解求微分的操作，就可以從已知的公式中，如 $\frac{d(t^2)}{dt}=2t$ ，得到當 x=t² 時， $\Delta x$ 和 $\Delta t$ 的比之極限是 2t。在更多的場合，我們常常喜歡使用另一種寫法，即 d(t²)=2tdt，或 d(x²)=2xdx（參見〈條目：微分〉)。

如果兩個量 y 與 x 之間有 y=x² 的關係，那麼，從 d(x²)=2xdx 這個關係式中，y=x² 對 x 的微分就是 2x，經常，我們把上述的觀念直接表成 $dy=(\frac{dy}{dx})\cdot dx$ 。或者，如果 y=f(x)，dy=f'(x)dx。

式子 $dy=(\frac{dy}{dx})dx$ 千萬不可看成只是把「dy」除以「dx」再乘以「dx」，而應該讀成「將 $\Delta y$ 與 $\Delta x$ 之比的極限表成 $\frac{dy}{dx}$ 」或者「dy 與 dx 之比就是 y 對 x 的微分，記成 $\frac{dy}{dx}$ 」。

積分，則是一個把許多微量重新求和的概念。例如，想求圓的面積 A，如果把圓割成許多小小的扇形，這每一個小小的扇形可以籠統的以 dA 表達。在分割的過程中，無論分成多麼細的扇形，它們的總和總是原來的 A 這個量，記成 $A=\sum dA$ 或 $A=\int dA$ ， $\int$ 是 $\sum$ 的變形，它代表對無窮多個無窮小的微量求和的過程。

再說， $A=\sum dA$ 也不能簡單的看成是一句廢話，這個式子有兩個要緊之處，其一就是剛才談過的「A 是一個不變的總量」這件事，任何一個問題的處理，都要注意到所求的量是不會因為求法的不同而改變的。其二就是 $A=\int dA$ 的這個表示，必須要倚重另一個量才有真正的用處。例如弧長 s，我們知道一個小扇形可以看成是一個小小的等腰三角形，它的底邊近似來看是 ds 而腰或高的近似就是半徑 r，因此

$\begin{displaymath} dA=\frac{1}{2}r\cdot ds \end{displaymath}$

這樣一個表示同時也提醒我們 dA 和 ds 這兩個微量之間的關係，這個關係是從本文一開始就一再強調的。

知道了 $dA=\frac{1}{2}r\cdot ds$ ，則 $\int dA$ 就是 $\int ds$ 的 $\frac{1}{2}r$ 倍，但是 $\int ds$ 的意義正是求所謂圓周的總長，因此得到圓面積的公式

$\begin{displaymath} A=\mbox{{\MaQ\char 198}\hskip 0.0pt plus0.2pt minus0.1pt{\Ma... ...minus0.1pt{\MfQ\char 16}})=(2\pi r)\cdot(\frac{1}{2}r)=\pi r^2 \end{displaymath}$

我們注意到，如果不能把 dA 表達成另一個微量 ds 的一個係數，那麼即便是寫下 $A=\int dA$ 也是無法真正求出一個答案來。

可以這麼說，若是想求一個量 Q，積分的意義就在於把 Q 表成 $\int dQ$ 之後，再繼續把 dQ 以某一個更方便的微量 dP 來表成 $dQ=\frac{dQ}{dP}dP$ ，則 $Q=\int (\frac{dQ}{dP})dP$ ，如果能了解 $\frac{dQ}{dP}$ ，就可以掌握 Q，這樣的想法和過程不僅幫我們求出答案，同時，也說明了求 Q 的方式不外是了解 $\frac{dQ}{dP}$ 再得到 Q，這個過程有人說成是求 $\frac{dQ}{dP}$ 的反微分，因為 $\frac{dQ}{dP}$ 是 Q 的微分，所以 Q 就是 $\frac{dQ}{dP}$ 的反微分了。至於求 Q 的時候要選誰當（參考量）P 呢？那當然要看哪一個 P 才能提供最清楚的 $\frac{dQ}{dP}$ 。一般來說，問題的本身可能會提供不只一個的參考量 P，但是若是不能方便的知道 $\frac{dQ}{dP}$ ，如何求 Q 也就幫不上忙。

再以求 y=f(x) 的函數圖形下所覆蓋的面積 A 為例，如果以 x 為參考量的話，要如何理解 $\frac{dA}{dx}$ 呢？注意到 $\frac{dA}{dx}$ 是 $\frac{\Delta A}{\Delta x}$ 的極限，也就是說要先了解當 x 變化到 $x+\Delta x$ 時，A 究竟起了什麼變化？當然 $\Delta A$ 是一個近似的梯形，它的高是 $\Delta x$ ，下底和上底分別是 y 和 $y+\Delta y$ ，同時面積 $\Delta A$ 近似等於 $\Delta x\cdot\frac{y+(y+\Delta y)}{2}$ ，而 $\frac{\Delta A}{\Delta x}$ 近似等於 $y+(\frac{1}{2}\Delta y)$ ，當 $\Delta x$ 趨近於 0，得到 $\frac{dA}{dx}=y=f(x)$ ，所以求 A 等於是求 y=f(x) 的反微分，這正是牛頓與 Leibniz 發現的微積分基本定理。

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（撰稿：張海潮∕台大數學系）

相關網頁：

數學條目：微積分基本定理

微積分與差和分大意（蔡聰明）

人怎樣求得面積？（黃武雄）

Leibniz 如何想出微積分？（蔡聰明）


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編輯：李渭天

最後修改日期：8/30/2001