連續函數是微積分最重要的一類函數， 因為積分所要對付的函數基本上就是連續函數， 並且可微分函數又是連續函數的子類。

設 為一個函數。 f 的連續性之概念可以分成兩個層次來了解：

一、直觀層次： 若 的圖形沒有斷點或缺口， 則稱f為一個連續函數。

二、嚴格定義： 若 f 在 a 點有定義，即 ，極限 存在， 並且極限值就是f(a)，亦即 則稱 f 在 a 點連續。 如果f在其定義域A上的每一個點都連續，則稱f為一個連續函數。

連續性的概念，其最後本質必須透過拓樸結構(topolgical structure)來承載。

（撰稿：蔡聰明／台大數學系）

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