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.原載於科學月刊第三十一卷第三期
.作者當時任教於中央大學數學系
 

集合論與數學教育

王九逵

 
 


把數學建立於集合論上

數學系統原本非常複雜,19世紀的一大成就,就是把這個數學系統簡約了。 數學討論的對象本來是「數」和「形」。「形」是幾何學討論的範圍,但是幾何可以座標化, 例如:在平面幾何中,如果我們把以 (x,y) 為座標的點直接看成實數對 (x,y),我們便可以省掉「形」的觀念,而直接以實數來討論它了。至於實數,Dedekind 和 Cantor 在19世紀中葉各引入一套實數的理論, 以有理數為素材把實數建構出來,有理數 $\frac{m}{n}$ 可以想成整數對 (m,n),其中 $n\neq 0$;若 (m',n') 為另一個這種整數對,則當 mn'=m'n 時,我們把 $\frac{m}{n}$$\frac{m'}{n'}$ 看成等同,這樣我們便可以用整數為素材把有理數建構出來了,至於整數,也可以用類似的方法從正整數建構出來。如此我們可以把整個數學建立在正整數上。

在19世紀中葉,Cantor 創立了集合論。根據他的說法,當我們把一些清晰可分的,客觀世界中或我們思想中的事物,看成一體時,這整體便稱之為「集合」,其中的事物稱為它的「元素」。若 x 是集合 A 的元素,我們便用符號 $x\in A$ 表示;若 x 不是集合 A 的元素。則以 $x\not\in A$ 表示;而不包含任何元素的集合叫「空集合」。 通常用符號 $\emptyset$ 表示它,空集合和數系中的 0 相當。由元素 a,b,c 為元素的集合,可以用符號 {a,b,c} 表示。有了這些準備以後,我們就可以把正整數的系統建立在集合論上,方法是:$0=\emptyset$, 1={0}, 2={0,1}, 3={0,1,2},如此整個數學便可以建立在集合論上了。

 
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編輯:鄧惠文 最後修改日期:6/17/2002