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蜜蜂與數學 (第 4 頁)

蔡聰明

 

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.原載於科學月刊第二十七卷第七期
.作者當時任教於台大數學系
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蜂巢的極值原理

自古以來,人類對於蜜蜂的勤勞以及蜂巢的巧妙精準,無不讚揚有加。從生物學的祖師爺亞里斯多德 (Aristotle),到數學家 Pappus,以及近代的博物學家達爾文 (Darwin) 都曾留下讚美的語句。

工蜂分泌蜂蠟築成蜂巢,做為后蜂產卵、育幼,以及存放蜂蜜、花粉的儲藏室。從正面看起來,蜂巢是由許多正六邊形的中空柱狀儲藏室連結而成,參見圖八,讀者若具有實地見過蜂巢的經驗當然是最好。



圖八

從整個立體的蜂巢來看,它具有左右(或前後)兩側的儲藏室.其截面如圖九;而圖十是一個柱狀的儲藏室,其底部是由三個全等的菱形面 ASBRASCQPBSC 所組成。



圖九



圖十

人類對於蜂巢的結構,由觀察產生驚奇,進而提出兩個數學問題:

(i)
為何是正六邊形?
(ii)
底邊為何是三個全等的菱形面組成?

下面我們就來探索這兩個問題。

第一個問題涉及古老的等周問題 (isoperimetric problem):即在平面上,要用固定長的線段圍成一塊封閉的領域,使其面積為最大,問應如何圍法?

這個問題又叫做 Dido 問題。在古希臘傳說中,Dido 公主(建立迦太基的女王)憑她的直覺提出正確的答案:圓。不過,要等到兩千多年後的十九世紀,透過變分學 (calculus of variation) 的研究,才有真正嚴格的證明。

對於等周問題,古希臘數學家 Zenodorus(約180 B.C.)已經證得下列的結果:

(i) 在所有 n 邊形中,以正 n 邊形的面積為最大,並且邊數越多,面積也越大;
(ii) 圓的面積比任何正多邊形的還要大。

另外一方面,古埃及人已經知道,用同一種形狀與大小的正多邊形舖地,恰好只有三種樣式,參見圖十一。



圖十一

即只能用正三角形,正方形與正六邊形三種情形,再沒有其他的了。這是三角形三內角和為 180°的簡單推論。

蜜蜂分泌蜂蠟築巢,從橫截面來看,這相當於是用固定量的蠟,要圍成最大的面積,這是等周問題。由 Zenodorus 的結果,再配合上述舖地板只有三種樣式,所以蜜蜂只有正三角形、正方形與正六邊形三種選擇,而蜜蜂憑本能選擇了最佳的正六邊形。換言之.蜜蜂採用「最經濟原理」來行事。

亞歷山卓 (Alexandria) 的幾何學家 Pappus,約在西元300年出版一套八冊的《數學文集》(Mathematical Collection),其中第五冊討論等周問題及蜂巢結構問題。他特別稱讚蜜蜂「依本能智慧作論證」(reason by instinctive wisdom) 的本領,天生俱有的「某種幾何的洞悟力」(a certain geometrical foresight)。

其次,我們探討蜂巢的第二個問題,即每個儲藏室 (cell) 底部的幾何結構。這個問題比較困難。

我們觀察蜂巢的一個儲藏室,它是中空的正六角形柱,而底部是由三個菱形面組成,交會於底部中心頂點 S(見圖十二)。讓我們先回顧一段歷史。



圖十二

在1712年,巴黎天文觀測所的天文學家 G.F. Maraldi,他實際度量菱形的角度,得到的結果是 70°32' 與 109°28',見圖十二。Maraldi 實地叩問自然,並且相信蜜蜂是根據單純 (simplicity) 與數學美 (mathematical beauty) 兩個原理來築巢。

Maraldi 的結果引起法國著名的博物學家 Reaumur 的興趣,他猜測蜜蜂選擇這兩個角度一定是有原因的,可能就是要在固定容積下,使得表面積為最小,即以最少的蜂蠟作出最大容積的儲藏室。因此,Reaumur 就去請教瑞士年輕的數學家 Samuel König 如下的問題:

給定正六角形柱,底部由三個全等的菱形作成,問應如何做會最節省材料?

Reaumur 並沒有告訴 König 這個問題是由蜂巢引起的。

一直等到 König 把算得的結果 70°34" 與 109°26" 送到 Reaumur 的手裡,Reaumur 才告訴 König 關於蜂巢與 Maraldi 的實測結果。他們對於理論與實測的結果僅相差 2",同感震驚。König 的結果支持了 Reaumur 的猜測:蜜蜂是按「最經濟原理」來行事。König 利用微分法解決上述的極值問題,他說:「蜜蜂所解決的問題,超越古典幾何的能力範圍,而必須用到 Newton 與 Leibniz 的微積分。」然而,一代博學者 Fontenelle(法國科學院永久秘書)在1739年卻作出著名的判斷,他否認蜜蜂具有智慧,認為蜜蜂只是按照天生自然與造物者的指示,「不知亦能行」地(盲目地)使用高等數學而已。

關於 König 的相差2分問題,後來經過 Cramer、Boscovich、Maclaurin 等人的重算,發現蜜蜂是對的,錯在 König,而 König 所犯的小錯又出在計算 $\sqrt{2}$ 時,所使用的數值表印錯了一個數字。

下面我們就來求解 Reaumur 對 König 所提出的極值問題。

考慮圖十三的正六角形柱,在 ACE 處分別用平面 BFMBDODFN 截掉三個相等的四面體 ABFMCDBOEDFN,見圖十四,使得變成圖十五。三個平面 BFMBDODFN 延伸交於頂點 P,見圖十六。從圖十三變成圖十六,所截掉的體積恰好等於所補足的體積。因此,圖十三與圖十六的體積相等,但是,兩者的表面積卻不相等。



圖十三

因此,原極值問題等價於,在容積固定下,求最小表面積。蜂巢一個儲藏室的表面(圖十六)是由六個梯形(BMGH 等等)與三個菱形組成的。在圖十四中,設AB=aBH=hAM=xx 是變數),則由餘弦定律與畢氏定理可求得菱形PBMF 的對角線

\begin{displaymath}
BF=\sqrt{3}a \quad, \quad MP=2\sqrt{x^2+\frac{a^2}{4}}
\end{displaymath}

今每個菱形的面積為 $\sqrt{3}a\cdot 2\sqrt{x^2+\frac{a^2}{4}}$ 每個梯形的面積為 $ah-\frac{1}{2}ax$,所以一個儲藏室的總表面積為
\begin{displaymath}
A(x) = 3\sqrt{3}a\sqrt{x^2+\frac{a^2}{4}}+3a(2h-x)
\end{displaymath} (5)

由微分法,令 A'(x)=0

\begin{displaymath}3\sqrt{3}ax\cdot\frac{1}{\sqrt{x^2+\frac{a^2}{4}}}-3a=0\end{displaymath}

解得
\begin{displaymath}
x=\frac{\sqrt{2}}{4}a
\end{displaymath} (6)

利用二階微分,容易驗知 $x=\frac{\sqrt{2}a}{4}$ 確是極小點。在 $x=\frac{\sqrt{2}a}{4}$ 之下,進一步令菱形的銳角 $\angle PBM=\theta$,則

\begin{displaymath}\tan(\frac{1}{2}\theta)=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{displaymath}

從而
\begin{displaymath}
\tan\theta &=& 2\sqrt{2}
\end{displaymath} (7)


\begin{displaymath}
&& \theta \quad \mbox{{\fontfamily{cwM2}\fontseries{m}\selec...
...{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 107}} \quad 70^\circ 32'
\end{displaymath}

習題: 在圖十六中,令 α 表示對角線 PO 與中心軸 PQ 之交角,試證一個儲藏室的總表面積為
\begin{displaymath}
A(\alpha)=6ha+\frac{3}{2}a^2(\frac{\sqrt{3}}{\sin\alpha}-\cot\alpha)
\end{displaymath} (8)

再解 $A'(\alpha)=0$,得
\begin{displaymath}
\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{3}} \quad \mbox{{\fontfamily{cwM2}...
...family{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 107}}\quad 0.57735
\end{displaymath} (9)

所以 $\alpha=54^\circ 44'$

註:我們也可以利用(6)式,再配合圖十六,推得(9)式。

對於一個初等的極值問題,要用到微分法來處理(殺雞用牛刀),令人不滿意。於是有人,例如 Maclaurin(1743)、L'Huillier(1781),開始尋求初等的、簡單的代數與幾何解法。

(i)代數的配方法
我們注意到,在上述的解法中,其實都跟 ah 無關,所以我們不妨從頭就假設 a=1。於是(5)式變成

\begin{displaymath}A(x)=3\sqrt{3}\sqrt{x^2+\frac{1}{4}}+6h-3x\end{displaymath}

由於 6h 是常數,故只需求

\begin{displaymath}f(x)=\frac{3\sqrt{3}}{2}\sqrt{1+4x^2}-3x\end{displaymath}

之最小值。令

\begin{eqnarray*}
y &=& \frac{3\sqrt{3}}{2}\sqrt{1+4x^2}-3x \\
y+3x &=& \frac{3\sqrt{3}}{2}\sqrt{1+4x^2}
\end{eqnarray*}


兩邊平方,再化簡得
\begin{displaymath}
y^2-\frac{27}{4} &=& 18x^2-6xy
\end{displaymath} (10)

對右項配方,再化簡得

\begin{displaymath}3y^2-\frac{27}{2}=(6x-y)^2\geq0\end{displaymath}

因此,當 y=6x 時,y 有最小值 $y=\frac{3\sqrt{3}}{2}$,從而

\begin{displaymath}x=\frac{y}{6}=\frac{\sqrt{2}}{4}\end{displaymath}

得到跟 (6)式相同的答案(a=1)。

(ii)二次方程的判別式法
由(10)式得
\begin{displaymath}
18x^2-6xy-(y^2-\frac{27}{4})=0
\end{displaymath} (11)

看作是 x 的二次方程式。因為 x 甯偎篥ヾA故(11)式的判別式

\begin{displaymath}\Delta=36y^2+4\times 18 \times(y^2-\frac{27}{4})\geq0\end{displaymath}

整理化簡得

\begin{displaymath}y^2\geq\frac{9}{2}\end{displaymath}

於是 y 的最小值為 $\frac{3\sqrt{2}}{2}$,以 $y=\frac{3\sqrt{2}}{2}$ 代入(11)式得

\begin{displaymath}x=\frac{\sqrt{2}}{4}\end{displaymath}

達爾文稱讚蜂巢為「在已知的僅憑本能的建構中是最令人驚奇的成就」。他又說:「欲超越這樣完美的建構,自然選擇 (natural selection) 是不能達成的,因為就我們所見,蜂巢不論是在勞動力上或蜂蠟的使用上,都符合最經濟的原則,是絕對地完美。」

在大自然中,除了蜜蜂遵行「最小原理」之外,還有荷葉上的水珠,校園草地出現的人行道,光的 Heron 最短路徑原理與 Fermat 的最短時間原理等等,這不禁使我們要猜測,大自然是按著某種「最小原理」來運行的。

在十七世紀,Leibniz 從哲學上論證「這是所有可能世界中最好的一個世界」(the best of all possible worlds)。物理學家終於在十八、十九世紀找到了動力學的「最小作用量原理」(the principle of least action),成為數理科學中最美麗的成就。

   

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編輯:黃信元 最後修改日期:2/27/2002