蜜蜂是群居性的昆蟲，嚴格施行分工合作的社會（經濟學家 Adam Smith 在1776年才開始提倡人類社會也應該分工合作）。一個蜂巢通常是由一隻后蜂（又叫蜂王，是體型最大的雌蜂）、約五萬隻的工蜂以及數百隻的雄蜂組成的。后蜂專司產卵，是蜂群共同生活中心；工蜂負責築巢、清潔、採蜜、分泌蜂王乳、守衛、餵食幼蜂等工作；雄蜂是「小白臉」，好吃懶做，只負責跟后蜂交配。受精卵孵化出雌蜂之幼蟲，若持續餵以蜂王乳就長成蜂王；若前三天餵以蜂王乳，以後餵以蜂蜜或花粉，就發育成工蜂，因此工蜂是雌蜂。后蜂所產的未受精卵就孵化為雄蜂，故雄蜂有母無父，這是奇特之處。參見圖一。

圖一

採蜜是工蜂最繁重的工作。首先是派出一些工蜂做偵察蜂 (explorer)，到處去找尋蜜源。當偵察蜂發現採蜜的地點時，回巢要如何告知同伴呢？這就是描述地點的問題。蜜蜂不會說話，如何解決這個難題呢？

我們人類描述地點的方式有很多種，例如從日常生活用語言說明、用手明指方向、畫張地圖、給出你家的地址、說出颱風所在的經緯度，到數學上更有效的直角坐標、極坐標、柱坐標、球坐標、廣義坐標等等。

然而蜜蜂沒有「語言」，怎麼辦呢？牠們有「跳舞語言」(the dance language)，以跳舞的方式來傳遞訊息，描述地點，基本上就是極坐標！（我們不要受人類自己習以為常的「語言」框框所限制！）

奧地利動物學家 Karl von Frisch（1886∼1982）就是專門研究蜜蜂的跳舞語言與定向 (orientation) 而有成的人，他懂得「蜂語」，故被譽為「現代公冶長」（公冶長聽得懂「鳥語」）。由於對個別動物及其社會行為規律的研究有卓著的貢獻，Frisch 與德國的 Konrad Lorenz、荷蘭的 Nikolaas Tinbergen 在1973年一起得到諾貝爾生理學暨醫學獎。

根據 Frisch 的研究，當偵察蜂發現一處蜜源時，牠飛回巢就先放出氣味，並且在垂直的蜂巢表面上跳舞。基本上分成兩種舞步：圓舞與搖尾舞。

如果蜜源距離蜂巢超過100公尺，則跳搖尾舞。先走一小段直線路徑，再繞半圓，回到原出發點，然後走原直線路徑，再對另一側繞半圓，如此規律地反覆交替繞半圓。在走直線路徑時，還不斷地搖擺牠的下腹，這是「搖尾舞」名稱的由來。

圖二

圖三

如果太陽、蜂巢與蜜源的位置關係如圖二所示，那麼圖三就是相應的搖尾舞，其中有四隻尾隨者接到訊息（見參考資料1，p.57）。直線路徑偏離鉛垂線右方30度，這表示蜜源在太陽方向偏右30度的方向。至於蜂巢與蜜源的距離由單位時間的繞圈數決定，繞越多圈表示距離越遠。例如，每分鐘若繞18圈，就表示距離約為1000公尺。如果直線路徑垂直向上的話，就表示蜜源在太陽的方向。因此，我們看出偵察蜂並不是使用直角坐標，而是採用極坐標來傳遞訊息。鳥類與魚類也有類似的行為。

所謂極坐標就是，為了描述平面上 P 點（蜜源）的位置，於是在平面上選定一條半線 （蜂巢與太陽方向之半線），叫做極軸，O 點叫做極點（蜂巢），將極軸旋轉一個角度 θ，遇到 P 點， ，那麼 P 點的極坐標就是 (r,θ)，參見圖四。在極坐標的世界有許多美妙的幾何圖形，例如各種螺線、擺線（輪迴線）等，這些都是直角坐標方程式難於表達的。

圖四

如果蜜源在100公尺以內，偵察蜂就跳圓舞，參見圖五。這表示蜜源就在附近，請同伴出去四周圍轉一下就可以找到。實際上，在圓舞與搖尾舞之間還有一些變化形狀，在此就略掉不提。

圖五

由下面的數據我們可以體會到工蜂的辛苦與勤勞。工蜂採集10公斤的花蜜才能釀造出半公斤的蜂蜜，而工蜂必須出動八萬次，每次平均飛行兩公里才能採集到10公斤的花蜜。換言之，每釀造1公斤的蜂蜜，必須飛行32萬公里，大約是繞地球8圈的距離。

Frisch 的主要工作如下：在1910年證明魚可以看出不同的顏色；1919年發現蜜蜂透過身體的搖動來傳遞訊息；在1947年發現蜜蜂利用極化光來定向。他更在1967年出版《蜜蜂的跳舞語言與定向》一書（即參考資料1）。物理學家李政道曾說，他喜讀各種雜書，其中 Frisch 的這本名著就是他覺得特別有趣的一本。