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瓦里斯公式及其相關的結果 (第 5 頁)

蔡聰明

 

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.原載於科學月刊第二十七卷第五期
.作者當時任教於台大數學系
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應用:一個期望值的計算

假設隨機變數 X 具有正規分布 $N(0,\sigma^2)$,我們要計算期望值 I=E(Xn)。按定義

\begin{displaymath}I=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{\infty}x^ne^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}dx\end{displaymath}

先作變數代換,令 $v=\frac{x}{\sigma}$,則

\begin{displaymath}I=\sigma^n\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}v^ne^{-\frac{v^2}{2}}dv\end{displaymath}

注意到, $e^{-\frac{v^2}{2}}$ 為偶函數。我們分兩種情形討論:

   
 
(i)當 n 為奇數的情形

因為奇函數乘以偶函數成為奇函數,所以 $v^ne^{-\frac{v^2}{2}}$ 為一奇函數,從而 I=0

   
 
(ii)當 n 為偶數的情形

由分部積分得到

\begin{eqnarray*}
I&=&\sigma^n\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}(-1)v^...
...rt{2\pi}}(n-1)\int_{-\infty}^{\infty}v^{n-2}e^{-\frac{v^2}{2}}dv
\end{eqnarray*}


按此要領繼續下去,我們就得到

\begin{eqnarray*}
I&=&\sigma^n(n-1)(n-3)\cdots3\cdot1\cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\...
...nfty}e^{-\frac{v^2}{2}}dv\\
&=&\sigma^n(n-1)(n-3)\cdots3\cdot1
\end{eqnarray*}


因此,我們得到結論,對於任意自然數 n

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{l}
E(X^{2n-1})=0\\
E(X^{2n})=\frac{(2n)!}{2^n\cdot n!}\sigma^{2n}
\end{array}\right.
\end{displaymath}

這個公式可以有組合學的解釋。

考慮 n 個東西,要兩兩配成雙,問有幾種配法?當 n 為奇數時,當然配不成,所以答案為 0;當 n 為偶數時,先任取一個東西,它可跟其餘的 n-1 個東西配成雙:剩下 n-2 個東西,再任取一個,它跟所剩的 n-3 個東西可配成雙;……繼續作下去。因此,我們得知:對任意自然數 n

\begin{displaymath}
E(X^n)=\sigma^n \cdot \mbox{({\fontfamily{cwM0}\fontseries{m...
...tfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 98})} \eqno{(35)}
\end{displaymath}

這個公式在機率論中扮演著一個很重要的角色。

   

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編輯:李渭天 最後修改日期:2/17/2002