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瓦里斯公式及其相關的結果 (第 2 頁)

蔡聰明

 

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.原載於科學月刊第二十七卷第五期
.作者當時任教於台大數學系
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平行類推

考慮積分

\begin{displaymath}T_n=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\tan^n\theta d\theta \eqno{(5)}\end{displaymath}

是否也可以得到美妙的公式?

由分部積分法,得到

\begin{eqnarray*}
T_n &=& \int_0^{\frac{\pi}{4}}\tan^{n-2}\theta(\sec^2\theta -1...
...ig[ \frac{\tan^{n-1}\theta}{n-1} \big]_0^{\frac{\pi}{4}}-T_{n-2}
\end{eqnarray*}



\begin{displaymath}T_n = \frac{1}{n-1}-T_{n-2} \eqno{(6)}\end{displaymath}

這是一個遞迴公式,再配合初期值

\begin{displaymath}T_0=\frac{\pi}{4}\end{displaymath}

以及

\begin{eqnarray*}
T_1 &=& \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan\theta d\theta
= \ln(\sec\theta) \big\vert _0^{\frac{\pi}{4}} \\
&=& \ln\sqrt{2}
\end{eqnarray*}


我們可以求得 Tn 之值:

\begin{displaymath}
\begin{array}{ll}
T_2=1-\frac{\pi}{4} & \quad
T_3=\frac{1}{...
...}+\frac{1}{2}-\ln\sqrt{2} \\
\vdots & \quad \vdots
\end{array}\end{displaymath}

一般而言,我們有

\begin{displaymath}
T_{2n} = (-1)^m [ \: \frac{\pi}{4} - (1 - \frac{1}{3}
+ \frac{1}{5} - \cdots + \frac{(-1)^{m+1}}{2m-1}) \: ] \eqno{(7)}
\end{displaymath}


\begin{displaymath}
T_{2n-1} = (-1)^m [ \: \ln\sqrt{2} - (\frac{1}{2} - \frac{1}...
... \frac{1}{6} - \cdots + \frac{(-1)^{m+1}}{2m}) \: ] \eqno{(8)}
\end{displaymath}

因為當 $0<\theta<\frac{\pi}{4}$ 時, $0<\tan\theta<1$,故 (Tn) 為一個遞減數列並有下界。由實數的完備性知,極限 $\lim_{n\rightarrow\infty}T_n = \alpha$ 存在。對(6)式取極限得 $\alpha = 0-\alpha$,於是 $\alpha = 0$,亦即

\begin{displaymath}\lim_{n\rightarrow\infty}T_n=0 \eqno{(9)}\end{displaymath}

註:我們也可以利用估計式 $0 < \tan\theta\leq\frac{\pi}{4}\theta$ , $\theta\in[0,\frac{\pi}{4}]$ 作積分, 再配合夾擠原理,得證(9)式。

由(7)、(8)、(9)式,得到

定理2

\begin{displaymath}\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\cdots\eqno{(10)}\end{displaymath}


\begin{displaymath}\ln\sqrt{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}\cdots\eqno{(11)}\end{displaymath}


\begin{displaymath}\ln2=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\cdots\eqno{(12)}\end{displaymath}

我們注意到:格利格瑞(Gregory)在1668年由 $\tan^{-1}x$ 的級數展開

\begin{displaymath}
\tan^{-1}=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7} \cdots, \quad
0 <x \leq1
\end{displaymath}

代入x=1,也得到(10)式。另外,萊布尼慈(Leibniz)在1674年利用他的「積分變形定理」(Transmutation Theorem), 算得(10)式時。因此,(10)式又叫做 Gregory-Leibniz 公式。當萊布尼慈求得(10)式時,他高興地說:「上帝喜悅奇數!」 (Good delighted in odd numbers!) 用奇數經過無窮步驟就可以組合出 π,這實在美妙。

   

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編輯:李渭天 最後修改日期:2/17/2002