歐氏幾何不外是研究空間與圖形的長度、角度、垂直、 面積、體積，以及全等與相似等等。歐氏採取公理化的手法(或所謂的綜合法) 來研究幾何。由於不能施展代數演算，所以長久以來難以進展。 直到十七世紀，笛卡兒與費瑪發明解析幾何，引入坐標系， 將平面上的點P與數對(x,y)對應起來，使得幾何圖形與方程式可以互相轉化， 溝通了幾何與代數。不過，這種轉化方法還是有其局限性， 因為點P=(x,y)無法作運算。

到了十九世紀，再引入向量的代數演算體系，幾何完全向量代數化。 代數的威力才真正發揮。

幾何的向量代數化，整個構想相當單純，只包括：一個概念(即向量)， 以及四種演算(即向量加法、係數乘法、內積與外積)。 它們滿足一些運算律，運算律就是代數學的「憲法」。

對於三維空間的情形，要將空間向量化很容易： 將點P=(x,y,z)看作是從原點0到P的位置向量(或有向線段) 就好了。 所有的(位置)向量全體就是一個向量空間。向量的概念(具有方向與大小的量)在大自然的運動現象中隨處可見， 例如作用力、速度、加速度等等。 在研究幾何圖形的全等時，歐氏採用移形疊合的手法， 後世更進一步採用「變換法」來研究幾何。這些都涉及空間的搬動， 其中以空間的平移為最基本。空間的一個平移(乾坤大挪移)就是一個向量， 有方向也有大小。

空間兩個平移的合成，就對應兩向量的加法，即平行四邊形法則。 其次，歐氏幾何研究圖形的相似，這就是空間的伸縮，對應了向量與純量的係數乘法。

畢氏定理的「兩元化」或物理學中的「作功」，就產生了內積運算。 它吸納了長度、角度、垂直、投影等重要的幾何概念。 最後，考慮空間的一個平移相對於另一個平移的旋轉量或物理學的力矩概念， 就產生了外積運算，它含納了有號面積這個幾何要素。

因此，我們可以說，大自然不但提供了數學素材，而且還啟示我們數學方法。 從大自然的運動或空間的「乾坤大挪移」所精煉出來的向量代數大法， 果然是威力十足。不但在物理學中有大用，而且更是研究幾何學的一個根本大法。 它可以更有系統地用計算來處理幾何問題，並且可以推展到高維空間， 超乎歐氏幾何的範圍，發展出向量分析與線性代數。

愛因斯坦五歲時觀察羅盤針，對其恆指著南北向的現象， 得到生平第一次驚奇，深深地感受到空間的神奇奧秘。到了十二歲， 首次接觸歐氏幾何，對其所展示的明確性與證明，又得到生平第二次驚奇。 兩次都跟幾何有密切的關係，影響著他一生的科學思想之發展。

對事物的驚奇感(the sense of wondering)與對大自然的規律感 (the sense of orders)，以及對事物的追尋、發現過程的親身體驗， 這些都是最寶實的經驗，在科學教育中應該大大地強調。 遺憾的是，這些恰是目前的教育最欠缺的要素。