畢氏定理的兩個推廣 (第 3 頁)

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畢氏定理的兩個推廣（第 3 頁）

蔡聰明

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．原載於科學月刊第二十五卷第十二期
．作者當時任教於台大數學系
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n 維歐式空間的畢氏定理

考慮 n 維歐氏空間 ${\bf R}^n=\{(x_1,x_2,\cdots,x_n):x_k \in {\bf R} \}$ ，對於任意兩向量 $\vec{u}=(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 與 $\vec{v} = (y_1,y_2,\cdots,y_n)$ 的內積定義為

$\begin{displaymath} \vec{u} \cdot \vec{v} = x_1y_1+x_2y_2+\cdots x_ny_n \eqno{(23)} \end{displaymath}$

內積可以捕捉住：長度、角度、垂直、投影等幾何概念。我們可以說，內積構造是這些幾何概念的精煉。

事實上，我們有

(i)

$\begin{displaymath} \vec{u}\cdot\vec{u}=x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\equiv \vert\vert u\vert\vert^2 \end{displaymath}$

(ii)

$\begin{displaymath} \vec{u}\cdot\vec{v}=0 \Longleftrightarrow \vec{u} \bot \vec{... ...s0.1pt{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 242}}) \end{displaymath}$

(iii)

$\begin{displaymath}\vec{u}\cdot\vec{v}= \parallel \vec{u} \parallel \cdot \paral... ...us0.1pt{\fontfamily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 105}} \end{displaymath}$

特別是，當 $\vec{v}$ 取為單位向量時， $\vec{u} \cdot \vec{v}= \parallel \vec{u} \parallel \cos \theta$ 就表示 $\vec{u}$ 在 $\vec{v}$ 方向的投影。

為了將畢氏定理(即定理三)推廣當到 Rⁿ空間，我們考慮 Rⁿ 中的 m 個向量 $(m \leq n)$ 所決定的 m 維平行多面體 (m-Parallelepiped)，作為 R³ 空間中的平行四邊形的類推。

設 $m \leq n$ ，並且 $\vec{v}_1,\vec{v}_2,\cdots,\vec{v}_m$ 為 Rⁿ 中的 m 個線性獨立向量 (linearly independent vectors)，則集合

$\begin{eqnarray*} &&P(\vec{v}_1,\vec{v}_2,\cdots,\vec{v}_m)\\ &=&\{ \vec{v}:\ve... ...{v}_2 + \cdots + t_m\vec{v}_m,0 \leq t_k \leq 1,k=1,2,\cdots,m\} \end{eqnarray*}$

叫做由 $\vec{v}_1,\vec{v}_2$ ,…, $\vec{v}_m$ 所決定的 m 維平行多面體。例如，圖十為三維平行多面體，事實上，它就是平行六面體。

注意：一維與二維平行多面體，分別就是線段與平行四邊形。

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編輯：朱安強 ∕ 繪圖：簡立欣

最後修改日期：2/17/2002