畢氏定理的兩個推廣 (第 4 頁)

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畢氏定理的兩個推廣（第 4 頁）

蔡聰明

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．原載於科學月刊第二十五卷第十二期
．作者當時任教於台大數學系
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如何求 m 維平行多面體的體積？

我們從最簡單情況切入，抓住形式本質，再飛躍到一般情形：

(a)一維平行多面體的體積就是線段的長度：

$\begin{displaymath} p(\vec{v}_1) \mbox{{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfo... ...v}_1 \parallel = \sqrt{\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_1 } \eqno{(24)} \end{displaymath}$

(b)二維平行多面體的體積就是平行四邊形的面積： $P(\vec{v}_1,\vec{v}_2)$ 的體積 =由 $\vec{v}_1$ 與 $\vec{v}_2$ 所決定的平行四邊形的面積：

$\begin{displaymath} =\sqrt{G(\vec{v}_1,\vec{v}_2)} =\sqrt{ \det ( \pmatrix{ \ve... ...cr \vec{v}_2 \cr } \cdot (\vec{v}_1,\vec{v}_2)) } \eqno{(25)} \end{displaymath}$

從表面形式上看起來，(22)與(23)兩式似乎沒有相通的地方。但是，只要我們引入矩陣的記號與演算，將向量看作是矩陣的特例，並且允許向量元之矩陣，那麼(24)與(25)兩式可以改寫成一致的形式：

令

$\begin{displaymath} \vec{v}_k = (\vec{x}_{k1}, \vec{x}_{k2},\cdots \vec{x}_{kn} ), k=1,\cdots,m \end{displaymath}$

則

$\begin{displaymath}[P(\vec{v}_1) \mbox{{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfo... ...ec{v}_1 \cdot \vec{v}_1 = \det (A_1^{t} \cdot A_1) \eqno{(26)} \end{displaymath}$

其中 $A_1=(x_{11},x_{12},\cdots ,x_{1n})=(\vec{v}_1)$ 看作是 1 x 1 型向量元矩陣，而 $A_1^{t} = \pmatrix{ x_{11} \cr \vdots \cr x_{1n} \cr }$ 表示 A₁ 的轉置矩陣。其次，

$\begin{displaymath} \big[ P(\vec{v}_1,\vec{v}_2)\mbox{{\fontfamily{cwM1}\fontser... ...= G(\vec{v}_1,\vec{v}_2) = \det (A_2^t \cdot A_2) \eqno{(27)} \end{displaymath}$

其中 A₂ 為 1 x 2 型之向量元矩陣。

由這兩個例子，我們猜測：

$\begin{displaymath} \begin{eqalign} \lefteqn{ \big[ P(\vec{v}_1,\cdots,\vec{v}_... ...vert = G(\vec{v}_1,\cdots,\vec{v}_m) \end{eqalign} \eqno{(28)} \end{displaymath}$

其中 $A_m=(\vec{v}_1,\vec{v}_2,\cdots,\vec{v}_m)$ 為1 x m型向量元矩陣。

這個猜測成立嗎？如何證明？

首先，我們要問，什麼是m維平行多面體的體積？我們採用歸納定義法：

: (i)由一個非零向量 $\vec{v}_1$ 所決定的一維平行多面體之體積定義為 $\parallel \vec{v}_1\parallel$ ；
: (ii) 假設 $(\vec{v}_1,\vec{v}_2,\cdots,\vec{v}_m)$ 為m個獨立向量並且對於k < m,k維平行體的體積已有定義。令 $S=<\vec{v}_1,\vec{v}_2,\cdots,\vec{v}_k>$ 表示由 $(\vec{v}_1,\vec{v}_2,\cdots,\vec{v}_k)$ 所張成的線性子空間，再令 $\vec{b}$ 表示 $\vec{v}_{k+1}$ 投影至S的分向量並且 $\vec{c}=\vec{v}_{k+1}-\vec{b}$ ，於是 $\vec{c}$ 垂直於S(見圖十一)。我們定義：

$\begin{displaymath} P(\vec{v}_1,\vec{v}_2,\cdots,\vec{v}_k,\vec{v}_{k+1}) \mbox{... ...ries{m}\selectfont \char 9}} \cdot \parallel \vec{c} \parallel \end{displaymath}$

圖十一

注意到，如果 $\vec{v}_1,\vec{v}_2,\cdots,\vec{v}_k$ 為線性相依，則 $P(\vec{v}_1,\vec{v}_2,\cdots,\vec{v}_k)$ 的體積為 0。換言之， $P(\vec{v}_1,\vec{v}_2,\cdots,\vec{v}_k)$ 的體積是指其 m 維體積。

下面我們證明(28)式。首先，我們觀察到：

補題：
設 $\vec{a}_1,\vec{a}_2,\cdots,\vec{a}_m$ 為 ${\bf R}^n$ 中m個向量( $m \leq n$ )，令矩陣 $A=(\vec{a}_1,\vec{a}_2,\cdots,\vec{a}_m)$ 且 $B=(\vec{a}_1,\cdots,\vec{a}_{m-1}, \vec{a}_m-\alpha_1 \vec{a}_1-\cdots-\alpha_{m-1}\vec{a}_{m-1})$ ，其中 $\alpha_1,\cdots,\alpha_{m-1} \in R$ 表純量，則

$\begin{displaymath} \det (A^t \cdot A)=\det (B^t \cdot B) \eqno{(29)} \end{displaymath}$

這個補題只不過是行列式的基本操作之結論，將一行(或列)乘以一個係數加到另一行 (或列)，行列式的值保持不變。

定理六：設 $\vec{v}_1,\vec{v}_2,\cdots,\vec{v}_m$ $\in \mathbf{R}^n$ 為 m 個獨立向量，則 m 維平行多面體：

$\begin{displaymath} P(\vec{v}_1,\vec{v}_2,\cdots,\vec{v}_m)\mbox{{\fontfamily{cw... ...electfont \char 9}} =\sqrt{\det (A_m^t \cdot A_m)} \eqno{(30)} \end{displaymath}$

其中 $A_m=(\vec{v}_1,\vec{v}_2,\cdots,\vec{v}_m)$

證明：利用 Gram-Schmidt 直交化手法與數學歸納法。

(i) 當 m=1,2 時，(28)式化成(24)與(25)兩式，這是成立的。

(ii) 假設 m=k>2 時,(28)式成立。對於 $\vec{v}_{k+1}$ ，如圖十一之直交化分解 $\vec{v}_{k+1}$ = $\vec{b}+\vec{c}$ ，其中

$\begin{displaymath} \vec{b}=\alpha_1\vec{v}_1+\cdots+\alpha_k\vec{v}_k, \alpha_1,\cdots,\alpha_k \in R \end{displaymath}$

並且

$\begin{displaymath} \vec{c}=\vec{v}_{k+1}-\vec{b} =\vec{v}_{k+1}-\alpha_1\vec{v}_1-\cdots\alpha_k\vec{v}_k \end{displaymath}$

垂直於 $S=<\vec{v}_1,\cdots,\vec{v}_k>$ 。

令矩陣 $A_{k+1}=(\vec{v}_1,\cdots,\vec{v}_k,\vec{v}_{k+1})$ 且 $B=(\vec{v}_1,\cdots,\vec{v}_k,\vec{c})$ 則得

$\begin{eqnarray*} \lefteqn { \det(B^t \cdot B) \left\vert \matrix{ \vec{v}_1... ...vec{v}_1 & \cdots & \vec{v}_k\cdot\vec{v}_k \cr } \right\vert \end{eqnarray*}$

由歸納假設與補題知

$\begin{eqnarray*} \det (A_{k+1}^t \cdot A_{k+1})&=& \det (B^t B)\\ &=&\parallel... ...nus0.1pt{\fontfamily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 9}}]^2 \end{eqnarray*}$

所以m=k+1時，(28)式也成立。

對於任何 m 個向量 $\vec{a}_1,\vec{a}_2,\cdots,\vec{a}_m$ ，令矩陣 $A={\vec{a}_1,\cdots,\vec{a}_m}$ ，則 Gram 行列式

$\begin{displaymath} G(\vec{a}_1,\vec{a}_2,\cdots,\vec{a}_m)= \det (A^t \cdot A) \end{displaymath}$

代表由 $\vec{a}_1,\vec{a}_2,\cdots,\vec{a}_m$ 所決定的平行多面體的體積平方，因此，下面的推論是顯然的：

推論一：

: (i) $G(\vec{a}_1,\cdots,\vec{a}_m) \geq 0$
: (ii) $\vec{a}_1,\cdots,\vec{a}_m$ 線性獨立 $\Longleftrightarrow G(\vec{a}_1,\cdots,\vec{a}_m)>0$

推論二：(Hadamard 行列式不等式)

: (i) $\det (A^t \cdot A) \leq \parallel \vec{a}_1\parallel^2 \cdots \parallel \vec{a}_m\parallel^2$
: (ii) 如果 m=n，則 $\det (A)\leq \parallel \vec{a}_1\parallel \cdots \parallel \overrightarrow{a_n}\parallel$

推論三：設 $\vec{v}_1,\cdots,\vec{v}_n \in {\bf R}^n$ 且 $A=(\vec{v}_1,\cdots,\vec{v}_n)$ 所決定的n維平行多面體的體積為 $\vert\det (A)\vert$ 。換言之， $\det (A)$ 代表n維平行多面體的有號體積。

現在我們可以將三維歐氏空間的畢氏定理(定理三) 推廣到 n 維歐氏空間。結論很容易猜測到：一個 m 維平行多面體的體積平方，等於它投影到各個 m 維坐標空間的體積平方和。這同時含納了定理二與定理三。設 $\vec{v}_1\cdots\vec{v}_m\in {\bf R}^n,(m\leq n))$ 。考慮矩陣 $A=(\vec{v}_1,\cdots,\vec{v}_m)$ ，這可以看成 n x m 型矩陣。如果 $I=(i_1,i_2,\cdots,i_m)$ 滿足

$\begin{displaymath} 1\leq i_1 \leq i_2 \leq \cdots \leq i_m \leq n \end{displaymath}$

則稱 I 為從 ${1,2,\cdots,n}$ 中取出 m 元遞昇指標。令 A_I 表示從矩陣 A 中取出 $i_1,i_2,\cdots,i_m$ 列 (rows) 所成的 n x m 型子矩陣。

定理七(n 維歐氏空間的畢氏定理)：設 $i_1,\cdots,i_m$ 為 Rⁿ 中的任何 m 個向量，則

$\begin{displaymath} G(i_1,i_2,\cdots,i_m) = \sum_{[I]}[\det (A_I)]^2 \eqno{(31)} \end{displaymath}$

其中 $\sum$ 表示對 ${1,2,\cdots,n}$ 的所有 m 元遞昇指標求和，因此總共有 C_mⁿ 項。

證明：假設

$\begin{displaymath} \vec{v}_1=\left( \begin{array}{c} v_{11}\\ \vdots\\ v_{1n}... ...\begin{array}{c} v_{m1}\\ \vdots\\ v_{mn} \end{array}\right) \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} A=(\vec{v}_1,\cdots,\vec{v}_m)= \left( \begin{array}{cccc} v... ...\vdots \\ v_{1n}&v_{2n}& \cdots& v_{mn}\\ \end{array}\right) \end{displaymath}$

令 $G(A)=\det (A^t \cdot A)$ ，且 $F(A)=\sum_{[I]} [\det (A_I)]^2$ 。我們要證明：

$\begin{displaymath} G(A)=F(A) \eqno{(32)} \end{displaymath}$

對所有 n x m 型矩陣 A 皆成立。我們分成五個步驟：

(i) 當 m=1 或 m=n 時，(32)式成立：若 m=1，則

$\begin{displaymath} G(A)=\sum_{i=1}^{n} v_{1i}^2=F(A) \end{displaymath}$

若 m=n，則求和只有一項而已，並且有 $G(A)=[\det (A)]^2=F(A)$

(ii) 若 $\vec{v}_1,\cdots,\vec{v}_m$ 為直交 (orthogonal)，則

$\begin{displaymath} G(A)=\parallel \vec{v}_1\parallel^2 \cdot \parallel\vec{v}_2\parallel^2 \cdots \parallel\vec{v}_m\parallel^2 \end{displaymath}$

(iii) 由行列式的性質知，A 的兩行互換或一行乘以一個常數加到另一行，並不影響 F 或 G 的值。

(iv) 經過 Gram-Schmidt 直交化手法與(iii)之操作，可以將 A 的各行向量變成直交並且呈下形

$\begin{displaymath} \pmatrix{ * & \cdots & * & * \cr 0 & \cdots & 0 & \lambda \cr } \end{displaymath}$

其中 $\lambda \neq 0$ 或 $\lambda=0$ ，這樣並不影響 F 或 G 的值。

(v) 現在對空間的維數 n 進行歸納法證明：當 n=1 時，則 m=1，由(i)證畢。當n=2時，則m=1或m=2，仍然由(ii)證畢。

假設對於 A 的列數比 n 少的情形 F(A)=G(A)。令 A 為 n x m 型矩陣，由(i)知，只需考慮 1<m<n 就好了。由(iv)知，可設 A 如下形

$\begin{displaymath} A= \pmatrix{ \vec{b}_1 & \cdots & \vec{b}_{m-1} & \vec{b}_m \cr 0 & \cdots & 0 & \lambda \cr } \end{displaymath}$

其中 $b_i \in {\bf R}^{n-1}$ 皆為直交，因為 A 的每一行向量在 Rⁿ 中已直交。令

$\begin{displaymath} B=(\vec{b}_1,\cdots,\vec{b}_m)\mbox{, {\fontfamily{cwM0}\fon... ...es{m}\selectfont \char 47}} C=(\vec{b}_1,\cdots,\vec{b}_{m-1}) \end{displaymath}$

由(ii)知

$\begin{eqnarray*} F(A) &=& \parallel \vec{b}_1\parallel^2 \cdots \parallel \vec... ...llel \vec{b}_m\parallel^2+\lambda^2) \\ &=& F(B)+\lambda^2F(C) \end{eqnarray*}$

其次計算 G(A)。將求和式按 i_m 分成兩部分

$\begin{displaymath} G(A)=\sum_{i_m<n}[\det (B)]^2+\sum_{i_m=n}[\det (A_I)]^2 \end{displaymath}$

令 $I=(i_1,\cdots,i_m)$ 為遞昇的m元指標。如果i_m<n，則A_I=B_I，於是

$\begin{displaymath} G(B)=\sum_{i_m<n}[\det (B_I)]^2+\sum_{i_m<n}[\det (A_I)]^2 \end{displaymath}$

如果i_m=n，則

$\begin{displaymath} \det (A(i_1,\cdots,i_{m-1},n))=\pm \lambda \cdot \det (C(i_1,\cdots,i_{m-1})) \end{displaymath}$

所以

$\begin{displaymath} \sum_{i_m=n}[\det (A_I)]^2=\lambda^2 G(C) \end{displaymath}$

由歸納法假設知

$\begin{displaymath} F(B)=G(B)\mbox{ {\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \char 47}}F(C)=G(C) \end{displaymath}$

因此F(A)=G(A)

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編輯：朱安強 ∕ 繪圖：簡立欣

最後修改日期：2/17/2002