曹亮吉

文藝復興以後，西方的科學觀，可以 Galileo Galilei（1564∼1642年）的看法為代表。他認為大自然是依數學方式建構的，人只要掌握各種現象的基本數學關係，就可以靠數學加以推演。將自然科學數量化，尋求其間的數學關係並加以推演，就成了研究自然科學的新方法。科學革命對數學的影響之一就是促使函數觀念漸趨成熟；當然，函數觀念的成熟也使科學研究帶來許多方便。

Galilei 研究落體運動，發現「物體在空中下降的距離（從靜止開始計算）與所經過時間的平方成正比」、「物體從高度固定的斜板滑落所需的時間與斜板的長度成正比」。也就是說他發現了距離與時間或時間與長度之間的數學關係。距離隨時間而變或時間隨長度而變，用現在的說法就是：距離是時間的函數或時間是長度的函數。研究運動也引出更多的曲線──點動成曲線，而曲線和函數之間，也經由解析幾何的引入，變得不可分離。

用坐標的方法研究曲線，就是把曲線以 x、y 的關係式表示，然後用代數的方法加以處理。反過來，如果採取 Fermat 式的解析幾何觀，從任何一個 x、y 的關係式出發，探討它所代表的曲線的幾何性質，那麼函數觀念的重要性更顯而易見了，因為 x、y 之間的關係常以函數的方法出現。

函數到底是什麼呢？最早的想法認為：一個函數是一個代數式子，只含變數以及加減乘除開方等符號，漸漸地，所謂超越（代數的）函數，如 、、a^x 等等地加了進來，加上種種曲線的研究，現在所謂的初等函數，在十八世紀上半葉就已經非常清楚了。

為了求得一個函數的導數，Newton（1642∼1727年）儘量把函數寫成冪級數，譬如，為了求得 （α 為實數）的導函數，Newton 利用 的冪級數

「函數就是冪級數」是十八世紀眾所公認的觀念，但波動問題的興起，使得這種觀念不時遭到挑戰，迫使 Euler（1707∼1783年）也承認：最先開始時，弦所成的曲線 y=f(x) 可以是任意的，只要是連續的，但不一定可以用冪級數來表示。到了 Fourier（1768∼1830年）研究熱傳導時，他發現他必須把初期條件函數 f(x) 以三角級數的方式展開：

圖一

三角級數的興起引起了函數觀念的再檢討。譬如在 中，若 y = f(x) = x，那麼 f(x) 的三角級數表示式，因周期性的關係，會將 區間內的曲線，在區間外一再重複，如圖一所示。也就是說，由許多斷線所組成的圖形居然可以用一級數來表！既然如此，圖一也可以當做一個函數 g(x)，雖然用簡單的式子來表時，它需要分段處理：

若 x 在 之內，則

推而廣之，可以分段用熟知的式子表示者也可以看成函數，在十八世紀時很少人會有這樣的認識。

Fourier 宣稱「任何」函數都可以表成三角級數之和的看法更值得檢討，因為到底什麼是函數，Fourier 也說不清楚。函數觀念的澄清是 Dirichlet（1805∼1859年）研究 Fourier 論之後的重要貢獻之一。他認為 y=f(x) 是個函數的意思是說：f 是一個規則，它告訴我們說，變數 x 之值固定了，其相應唯一的 y 值是什麼。f 不一定要是個式子，它只要能說清楚 x 到 y 之間的對應是什麼就好了。有了 Dirichlet 的函數觀念，數學家才能談什麼時候 a_n、b_n 之值可以確定，什麼相對應的三角級數在特定的區間內和原來的函數是一致的。

雖然 Dirichlet 有了函數最一般的定義，通常我們總希望用式子來表示一個函數所提供的規則。但什麼是式子呢？譬如，我們都承認 f(x)=x²+x+1 是個式子；其實它代表一段敘述，告訴我們函數對應的規則：把變數 x 自乘，加上變數本身，再加上 1，就是變數對應的 y 值。只因我們太習慣多項式所代表的意義，所以認為它是個式子，而不認為它代表的是一段敘述。再如 也是一樣，初學的人認為它代表一段敘述，但習焉不察後就成了式子。f(x) = [x] 代表不超過 x 的最大整數，更是一個明顯的例子。除了多項式、冪級數、三角級數外，更一般的函數項級數，譬如以 Bessel 函數或 Legendre 多項式為通項的級數，都可以看成式子。

除了「明」的式子外，還有些「暗」的式子。暗的式子指的是以參數函數、隱函數、微分方程式、積分方程式等來表示自變數 x 與他變數 y 之間的數學關係。怎樣化暗為明自然是最重要的課題之一。

式子之外，函數最常以曲線的形式出現。當然，每當有曲線出現，數學家總是想辦法把它量化，以式子的形式表示，好方便研究。譬如行星運行的軌道，是個橢圓其（隱）函數為 。譬如兩電線桿之間的電線所成的曲線（見圖二），稱為懸垂線。我們發現物理的觀點，坐標之間的關係可以用微分方程式表示；解了此方程式，就得懸垂線的函數為

圖二

又譬如小提琴聲波呈現規則而複雜的形狀（見圖三），它可以表成一三角級數。

圖三

當然並不是每條曲線都能找到適當的式子。譬如如某地的氣溫變化曲線，患病者的腦波（見圖四）等等這些太不規則的曲線恐怕就很難用式子表示。

圖四

Dirichlet 曾經考慮過有理數的特徵函數，它在有理數時取值為 1，否則為 0。這樣的函數根本無法用圖形來表示。

Weierstrass（1815∼1897年）曾經提出一個級數函數

Dirichlet 的函數觀不但包含已往種種的函數，提供了許許多多新鮮有趣、有用的例子，而且也因為函數觀念的確定，使得數學家能夠討論函數的連續、微分、積分等種種有關的性質。經過幾世紀的發展，函數成為數學中最基本的觀念之一，同時也是科學數量化的主要工具。

註： Leibniz 在1673年首先提到函數 (function) 這個字眼，他指的是跟隨一曲線上的點而變動的量，譬如切線長、法線長、次切線、縱坐標等等。f(x) 做為一般函數的符號是1734年 Euler 首先採用的。