黃金分割比 (第 3 頁)

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黃金分割比（第 3 頁）

黃敏晃;方述誠

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．原載於科學月刊第一卷第四期
．作者當時任教於台大數學系
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正五邊形

正五邊形是五個邊長相等，而且五個內角也相等的平面圖形，不難由凸多邊型的外角和公式，（即任意平面上的凸多邊形，其外角合一定為360°，這個公式比內角和公式容易記的多；平面上凸 n 邊形的內角合為 $(n-2) \times 180^{\circ}$ 。）正五邊形在古埃及與古希臘,甚至在古羅馬時期的宗教信仰與儀式中，也佔有相當重要的地位。這種微妙的地位，大概是此五邊形，與黃金分割比有極密切關聯的緣故吧！

各位不難在圖三中看出； $\triangle ABC \cong \triangle BAE$ （因為 $\overline{BC} = \overline{AB} = \overline{AE}$ ， $\angle ABC = \angle BAE = 108^{\circ}$ ）。所以， $\angle BAC = \angle ABE = 36^{\circ}$ （請注意， $\triangle ABC$ 為等腰三角形）由此可得 $\angle BPA = 180^{\circ} -2 \times 36^{\circ}$ $= 108^{\circ}$ ，因此 $\triangle BAP \sim \triangle ACB$ 由相似三角形對應成比例的性質知道：

$\begin{displaymath} \frac{ \overline{AC} }{ \overline{AB} } = \frac{ \overline{AB} }{ \overline{AP} } \end{displaymath}$

(5)

但是

$\begin{eqnarray*} \angle CBP & =& \angle CBA - \angle PBA \\ & =&108^\circ -36... ...0^\circ - \angle BPA \\ & =&180^\circ - 108^\circ = 72^\circ , \end{eqnarray*}$

即 $\triangle BPC$ 為等腰三角形， $\overline{BC} = \overline{CP}$ 。設 $\overline{AB} = x$ ， $\overline{AC} = x+y$ ，代入(5)式得 $\frac{x+y}{x} = \frac{x}{y}$

所以，正五邊形的對角線長，與邊長的比，也是黃金分割，事實上，在任何與五邊形有關的問題中，黃金分割就會出現，例如在圖四中，設 $\overline{PB} \perp \overline{AB}$ ，則 $\frac{\overline{DP}}{\overline{CP}} = \frac{1+ \sqrt{5}}{2}$ （有興趣讀者自證之）。

回頭看圖三，對 $\triangle ABC$ 利用於餘弦定律，則
$\overline{AB}^2 = \overline{BC}^2 + \overline{AC}^2 - 2 \overline{BC} \cdot \overline{AC} \cdot \cos 36^\circ$
或 $x^2 = x^2 + (x+y)^2 - x(x+y)\cdot \cos 36^\circ ,$
化簡得

$\begin{displaymath} x+y = 2x \cos 36^\circ \end{displaymath}$

(6)

再對 $\triangle ABP$ 用餘弦定律，整理化簡後可得下列關係，

$\begin{displaymath} y = \frac{x}{2 \cos 36^\circ} \end{displaymath}$

(7)

(7)代入(6)得 $x= \frac{x(4 \cos^2 36^\circ -1)}{2 \cos 36^\circ}$ 由此消去 x 得 $\cos 36^\circ$ 滿足的一個二次方程式如下：

$\begin{displaymath} 4 \cos^2 36^\circ - 2 \cos 36^\circ -1 =0 \end{displaymath}$

解得

$\begin{displaymath} \cos^36^\circ = \cos \frac{\pi}{5} = \frac{1+\sqrt{5}}{4} \end{displaymath}$

(8)

利用尤拉公式

$\begin{displaymath} e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta , i=\sqrt{-1} \end{displaymath}$

得到

$\begin{displaymath} i \theta = \ln(\cos \theta + i \sin \theta) \end{displaymath}$

(9)

上面兩式中， $\ln$ 為自然對數，而 e 為自然對數的底。在(9)式中，令 $\theta = \pi$ ，並利用 $\cos \pi = -1 = i^2$ ，則得

$\begin{displaymath} i \pi = \ln i^2 \end{displaymath}$

(10)

綜合(8)式與(10)式，可得黃金分割的另一種表現形式。

$\begin{displaymath} \frac{1+\sqrt{5}}{2} = 2 \cos (\frac{\ln i^2}{5i}) \end{displaymath}$

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編輯：康明軒 ∕ 繪圖：簡立欣

最後修改日期：5/2/2002