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黃金分割比 (第 3 頁)

黃敏晃;方述誠

 

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.原載於科學月刊第一卷第四期
.作者當時任教於台大數學系
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正五邊形

正五邊形是五個邊長相等,而且五個內角也相等的平面圖形,不難由凸多邊型的外角和公式,(即任意平面上的凸多邊形,其外角合一定為360°,這個公式比內角和公式容易記的多;平面上凸 n 邊形的內角合為 $(n-2) \times 180^{\circ}$。)正五邊形在古埃及與古希臘,甚至在古羅馬時期的宗教信仰與儀式中,也佔有相當重要的地位。這種微妙的地位,大概是此五邊形,與黃金分割比有極密切關聯的緣故吧!



各位不難在圖三中看出; $\triangle ABC \cong \triangle BAE$ (因為 $\overline{BC} = \overline{AB} = \overline{AE}$$\angle ABC = \angle BAE = 108^{\circ}$)。所以, $\angle BAC = \angle ABE = 36^{\circ}$ (請注意,$\triangle ABC$ 為等腰三角形)由此可得 $\angle BPA = 180^{\circ} -2 \times 36^{\circ}$ $= 108^{\circ}$, 因此 $\triangle BAP \sim \triangle ACB$ 由相似三角形對應成比例的性質知道:

\begin{displaymath}
\frac{ \overline{AC} }{ \overline{AB} } = \frac{ \overline{AB} }{ \overline{AP} }
\end{displaymath} (5)

但是

\begin{eqnarray*}
\angle CBP & =& \angle CBA - \angle PBA \\
& =&108^\circ -36...
...0^\circ - \angle BPA \\
& =&180^\circ - 108^\circ = 72^\circ ,
\end{eqnarray*}


$\triangle BPC$ 為等腰三角形, $\overline{BC} = \overline{CP}$。設 $\overline{AB} = x$$\overline{AC} = x+y$,代入(5)式得 ${\displaystyle \frac{x+y}{x} = \frac{x}{y} }$



所以,正五邊形的對角線長,與邊長的比,也是黃金分割,事實上,在任何與五邊形有關的問題中,黃金分割就會出現,例如在圖四中,設 $\overline{PB} \perp \overline{AB}$,則 $\frac{\overline{DP}}{\overline{CP}} = \frac{1+ \sqrt{5}}{2}$ (有興趣讀者自證之)。

回頭看圖三,對 $\triangle ABC$ 利用於餘弦定律,則
$
\overline{AB}^2 = \overline{BC}^2 + \overline{AC}^2 - 2 \overline{BC} \cdot \overline{AC} \cdot \cos 36^\circ
$
$x^2 = x^2 + (x+y)^2 - x(x+y)\cdot \cos 36^\circ ,
$
化簡得

\begin{displaymath}
x+y = 2x \cos 36^\circ
\end{displaymath} (6)

再對 $\triangle ABP$ 用餘弦定律,整理化簡後可得下列關係,
\begin{displaymath}
y = \frac{x}{2 \cos 36^\circ}
\end{displaymath} (7)

(7)代入(6)得 $x= \frac{x(4 \cos^2 36^\circ -1)}{2 \cos 36^\circ}$ 由此消去 x$\cos 36^\circ$ 滿足的一個二次方程式如下:

\begin{displaymath}
4 \cos^2 36^\circ - 2 \cos 36^\circ -1 =0
\end{displaymath}

解得
\begin{displaymath}
\cos^36^\circ = \cos \frac{\pi}{5} = \frac{1+\sqrt{5}}{4}
\end{displaymath} (8)

利用尤拉公式

\begin{displaymath}
e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta , i=\sqrt{-1}
\end{displaymath}

得到
\begin{displaymath}
i \theta = \ln(\cos \theta + i \sin \theta)
\end{displaymath} (9)

上面兩式中,$\ln$ 為自然對數,而 e 為自然對數的底。 在(9)式中,令 $\theta = \pi$,並利用 $\cos \pi = -1 = i^2$, 則得
\begin{displaymath}
i \pi = \ln i^2
\end{displaymath} (10)

綜合(8)式與(10)式,可得黃金分割的另一種表現形式。

\begin{displaymath}
\frac{1+\sqrt{5}}{2} = 2 \cos (\frac{\ln i^2}{5i})
\end{displaymath}

   

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編輯:康明軒 / 繪圖:簡立欣 最後修改日期:5/2/2002