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重複逼近面面觀
兼介向量變換
(第 5 頁)

林孝信

 

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.原載於科學月刊第二卷第六期

註釋
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V

以上介紹了解聯立方程式,重複趨近法等。我們借用向量以及向量變換作工具。細心的讀者也許發覺到,用向量的符號雖較簡潔,但當實際去求「解」時(就是算反變換 A-1),還是差不多麻煩。這樣,又何必費那麼大勁去討論向量,變換等等呢?

當然,如果你的目的只在解一個三元聯立方程組,大可不必費這麼多手腳。用向量及變換作工具,主要還是取其簡潔,而便於理論探討。許多有趣問題,如果缺乏簡潔符號,根本不可能被發現,被研究。以下就簡介一個實際例子。

前面討論過一個變換 A 具有方向性。我們已說過,方向性有幾個值得探討的重點。但還漏了一點:一個變換是不是一定把一個向量改變了方向?可不可能有某個向量 $\vec{a}$ 不會被 A 改變了方向?用式子來寫,即:

\begin{displaymath}
A \vec{a} = k \vec{a}
\end{displaymath}

就是說,A$\vec{a}$ 變換成 $k \vec{a}$──方向仍然在 $\vec{a}$ 上,只不過長度增大了 k 倍。

這樣的 $\vec{a}$ 存在嗎?通常是存在的。而且,如果 A 是作用在 n 度空間上的向量,通常便有 n 個不同(方向)的這種向量。

這樣的向量,叫做一個變換 A 的特徵向量 (eigenvectors); 而那個 k 值,則叫做特徵值 (eigenvalues)。

如果我們還是寫出嚕嗦的聯立方程組:

\begin{eqnarray*}
A_{11} x^1 +A_{12} x^2 + \cdots A_{1n} x^n &=& c^1\\
A_{21} x...
...
\vdots&&\\
A_{n1} x^1 +A_{n2} x^2 + \cdots A_{nn} x^n &=& c^n
\end{eqnarray*}


在這麼嚕嗦的式子上打轉,我們一定不可能想到去求什麼特徵值,特徵向量等問題來。

而這問題不僅有趣,更有極大用途。現代物理學是奠基在量子力學上,而量子力學的數學問題就是在求這種特徵值與特徵向量呢!

   

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繪圖:簡立欣 最後修改日期:4/29/2002