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重複逼近面面觀
兼介向量變換 （第 4 頁）

林孝信

 

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．原載於科學月刊第二卷第六期

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IV

我們已能算出 A-1 具體的運算還要借用行列式的性質：行列式有兩行或兩列相等，則為零。因此，如在三度空間，把一個行式某一行的元素換以第二或第三行，其值為零。如此，我們可以找出一個向量和兩個向量垂直（內積為零），而和第三個內積為 1。（這是三度空間情形，高度空間可依此類推。）這是要點。細節請讀者自行補上。

因此我們可解聯立方程：

\begin{displaymath} A \vec{x}=\vec{c} \end{displaymath}

其解為 $\vec{x}=A^{-1} \vec{c}$。

如何將這新工具應用到本文開頭所討論的重複逼近法呢？且再重新看看重複逼近法是怎回事。 以三元一次聯立方程式為例：

\begin{displaymath} \left \{ \begin{array}{c} A_{11}x^1+A_{12}x^2+A_{13}x^3=c_1\... ..._2\\ A_{31}x^1+A_{32}x^2+A_{33}x^3=c_3\\ \end{array}\right . \end{displaymath}

或 $A \vec{x}=\vec{c}$，

\begin{displaymath} A = \pmatrix{ A_{11}&A_{12}&A_{13} \cr A_{21}&A_{22}&A_{23} \cr A_{31}&A_{32}&A_{33} \cr } \end{displaymath}


\begin{displaymath} \vec{x} = \pmatrix{ x_1 \cr x_2 \cr x_3 \cr } , \vec{c}= \pmatrix{ c_1 \cr c_2 \cr c_3 \cr } \end{displaymath}

假設已求了 n 次，故在第一式中，A12 的 x2 及 A13 的 x3 是代入上次求得的 xn2,xn3，便可求出 xn+11；第二式中 A23 的 x3 還用 xn3，但 A21 的 x1 改用剛求得的 xn+l1 代入；如此求出 xn+12。把 xn+11、xn+l2 代入第三式，便得 xn+13。換言之，可寫成：

\begin{eqnarray*} A_{11} x^1_{n+1}+0 x^2_{n+1}+ 0 x^3_{n+1} {} + 0 x^1_{n}+A_{1... ...1}+ A_{33} x^3_{n+1} {} + 0 x^1_{n}+0 x^2_{n}+0 x^3_{n} &=& c_3 \end{eqnarray*}


或 $A_0 \overrightarrow{x_{n+1}} + A_1 \overrightarrow{x_{n}} = \vec{c}$，其中

\begin{displaymath} A_0 = \pmatrix{ A_{11}& 0 & 0 \cr A_{21}&A_{22}& 0 \cr A_... ...rix{ 0 &A_{12}&A_{13} \cr 0 & 0 &A_{23} \cr 0 & 0 & 0 \cr } \end{displaymath}

故 $A_0 \overrightarrow{x_{n+1}}=\vec{c}-A_1 \overrightarrow{x_{n}}$，所以 $\overrightarrow{x_{n+1}}=A_0^{-1} \vec{c}-A_0^{-1} A_1 \overrightarrow{x_{n}}$。 但，同理，

\begin{eqnarray*} \overrightarrow{x_n} &=& A_0^{-1} \vec{c}-A_0^{-1} A_1 \overrightarrow{x_{n-1}} \\ &&\vdots \end{eqnarray*}


將各式逐次往上代入，則得：

\begin{eqnarray*} \overrightarrow{x_{n+1}}&=&(A_0^{-1}-A_0^{-1}A_1A_0^{-1}+A_0^{... ...+\cdots]\vec{c}\\ &&+(-A_0^{-1} A_1)^{n+1} \overrightarrow{x_0} \end{eqnarray*}


式中，$\vec{x_0}$ 是「假定」的，「猜」的。

我們要知道的，是當重複算很多次後（n 愈來愈大）， $\overrightarrow{x_{n+1}}$ 會不會逼近所要求的解答 $\vec{x}$？

顯然，如果 $\overrightarrow{x_{n+1}}$ 要趨近於真正解答 $\vec{x}$，那麼含有用「猜」的右邊第二項 $(-A_0^{-1} A_1)^{n+1} \vec{x_0}$ 應趨近於 0，而另外一項應趨近於 $\vec{x}$。也就是說：

\begin{displaymath} \lim_{n \rightarrow \infty} (-A_0^{-1} A_1)^{n+1}=0 \end{displaymath}


\begin{eqnarray*} &&\lim_{n \rightarrow \infty} A_0^{-1}[1-A_1A_0^{-1}+(A_1A_0^{-1})^2-\cdots +(-A_1 A_0^{-1})^n] \\ &=&A^{-1}=(A_0+A_1)^{-1} \end{eqnarray*}


什麼狀況下，這兩個條件可以成立呢？顯然，如果 (-A0-1A1) 這個變換把任一個向量變得較小，如此一再重複地變換下去，最後終會把一個向量縮成零向量，即

\begin{displaymath} \lim_{n \rightarrow \infty} (-A_0^{-1} A_1)^n=0 \end{displaymath}

同樣，如果 (-A0-1 A1) 把一個向量變小，那麼我們可以證明上二式子一定成立（證明的過程，和無窮等比級數的求和法類似，請參看初中代數課本。）

當然，(-A0-1 A1) 未必會把一個向量長度變得較小。這就需要把聯立方程組的程序作適當調整。但經過適當調整後，一定可達到我們的要求。讀者試以三元，四元等聯立方程式為例，實際安排算之。

   

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繪圖：簡立欣 最後修改日期：4/29/2002