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阿林談微積分 (第 3 頁)

曹亮吉

 

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.原載於科學月刊第一卷第四、六、七期,分三期刊出
.作者當時任教於台大數學系
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「微分和積分的關係是怎麼回事?你好像時常 提及。」小華忍不住插口。

「哦!因為這兩者間關係的定理太重要了。本 質上,微分和積分是反運算,就好比乘法與除法互 為反運算似的。表面看來,微分是求變化,求曲線 的切線斜率,而積分是求面積,是一種和,二者彷 彿風馬牛不相干;如今卻發現他們的關係竟是這麼密切。 這個發現本身便足以令人讚嘆、欣賞,不但 是意外發現的樂趣,其美妙的關連更如面對一幅名畫, 或聆聽一曲交響樂。」阿林愈講愈起勁了。

「到底是怎樣的反運算關係?」小華就愛追根究底。

「要回答這個問題,還是用個實例來說明,就清楚了。 我們已知道 ,x3x0的變化率是3x02 -插一句話,這個變化率3x02顯然會因x0的不同而不同。 換言之 ,變化率還是x0的函數,我們稱 它作導來函數。於是從任何一個函數f(x), 我們可以對應於另一偶函數 f'(x)或寫作 $\frac{df(x)}{dx} $ 因此, $\frac{1}{3}x^3$的導來函數便是x2 。 但上次我們曾算過,把x2從0積分到b的面積正是 $\frac{1}{3}b^3$ , 這個b如變化 ,面積便也跟著變化 ,所以它也是個函數 $\frac{1}{3}x^3$。 於是一個函數,也可對應另一個"積分函數"。 所謂"對應",就是一種運算 。你看微分和積分 這兩種運算正是互為反運算呢 。就是說,把x2先用積分運算, 對應出一個新函數$\frac{x^3}{3}$,再用微分運算, 使得回原先的函數x2 ;同樣 ,也可先作微分運算再求積分。

這末一來,想求一個函數的積分,只需先看它 是什麼函數的導來函數,便可算出了。」

「這還是不太方便啊!」

「不錯。就計算上來說,積分還不如微分方便。 在微分中,只要寫得出式子,而且它的極限值存在, 一定可算出它的導來函數;可是許多簡單的函數, 它的積分函數都不易求出。舉個最簡單的例子: xn的導來函數是nxn-1。這個n不但可以是1,2,3,......等自然數, 也可以是0,負數,甚至分數或任何實數。 但xn的積分函數 $\frac{1}{n+1}x^{n+1}$(你自己證證這個式子), 當n=-1時便沒有意義了(0不能當除數)。」

「那麼n=-1時積分就不存在了?」

「當然不對。積分是求面積。我們如把這個函 數 $f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}$畫出來 (是一條雙曲線):



顯然,從 ab 的斜線面積是存在的。」

「那到底怎麼求呢?」

「求法還是得先找出$\frac{1}{x}$是什麼函數的導來函數。 這個積分函數已不是xn的形式,它甚至不是多 項式分式或帶有根號、指數等的代數函數,而是個 超越函數- 對數函數$\log x$。你看,一經積分, 可把代數函數積出超越函數來。

這還算簡單。有許多函數根本就找不出稍為熟 悉的積分函數。遇到這種情形,就只好用各種近似法, 或查表,或用電子計算機來算了。

「雖然如此,但畢竟積分遇有路可循,而且常 見的函數有一大半部可用微積分的關係來求出它們 的積分函數。

「還有一個有趣的現象。積分後的函數可能愈 來愈古怪。愈來愈"超越",微分則恰好相反, 它往往把"超越"或古怪的函數平凡化了。因此積分 會造出許多新的函數出來,函數的領域便拓寬了, 數學家可研究的材料便增多了。較易計算的微分便 沒有這份本事。

「更有趣的事是:微分雖然較易計算,但限制 反而較大。可以微分的函數一定可別積分。但反之。 卻不成立 - 許多能積分的函數卻不能微分,因此 兩者雖是互為反運算,適用的條件卻不一致。 最簡單的例子就是"階梯函數"(如圖):



這種函數的面積顯然存住,但在x1,x2點是不連續的, 在那些點就不能求它的變化率-也就是不能微分了。 連繽的函數不一定可微分,但卻一定能積 分-甚至不連繽的函數有時都可積分呢!」說到這堙A 阿林停頓了一下。小明和小華聽得正出神, 一時整個氣氛凍結成一團。

「好了,微分的重要觀念以及微分、積分間的 關係已大致談過了,你們有沒有其他問題呢?」

小明搖搖頭,一副飽飽倦倦的模樣,正如剛吃 下一席大拜拜,一時消化不了。「最好請你介紹些 具體的應用,幫助消化吸收。」

「微分的應用太廣了,......」

「為什麼它有這麼大的應用?」阿林才開口,小華就插嘴了。

「這個問題很好。微分應用太廣了,我正愁不 知從何談起呢。現在我們可以根據它「為什麼」有 重大應用的原因為綱目,來介紹它。」

小華得意地向小明扮個鬼臉。剛才他插嘴時, 小明顯得滿臉不耐煩。

「首先是微分的根本定義:微分是研究變化的 學問。我們這個世界是動態的,任何一種現象都會 因時間而變化- 動的車子,它的位置會隨時間的 變化,夏天的溫度不同於春天,樹木會長大,這個 月的投票比上個月漲了,你喜歡的那個女孩子今天 變得更漂亮等等,所謂動態就是隨時間而變化。既 然一切都會隨時間而變化,研究變化的微分學,便 成為不可或缺的工具。

「甚至靜態的現象,例如空氣的密度會隨地點與高度而變化,地表在不同地點的起伏不同,一個彈簧拉遠拉近,其作用力就有變化等等,也都會牽涉到變化。從以上的分析不難知道,微分是所有科學的基礎,只要那些科學所研究的對象,能移用數量表示。

「舉個更具體的情況,研究對象的性質,一受外來影響,很自然地會產生變化,好比推你一把,你就會動一動;用火烤烤,蕃薯就香了;戰爭停停打打,股票市場便隨之波波動動等等。科學家研究這些現象,首先要把研究對象的性質以及外來影響 "數量化",就是說各找出一個函數來;其次要找出性質變化和外來影響的關係,這等於發掘自然定律或法則,這樣的定津通常是個方程式,包含了外來影響函數, 以及性質函數的導來函數 (變化率)。這種包含微分的式子,便叫做微分方程式。多數的自然定律,都是以微分方程式的形式表示出來。

「以上是由微分的基本定義,而介紹它可能在 各門科學的應用。在數學本身,也有許多應用。最 重要是由它和積分的關係,藉它 "容易計算"的性質, 使積分成了一門極有用的工具。另一項重大用途, 是函數曲線的研究。

「一個函數曲線,如果只用代數的方法,我們 通常只能求出它的根,即找出所有的x,使 f(x)=0 如果把函數圖解出來,譬如它的形狀可能如下:



我們等於說只求出x1,x2,x3等三點。至於這個曲 線在其他各地的情形如何,我們完全不知,除非我 們把每一點的值都算出來;但這顯然行不通,因為總共有無數點呢!」

「但我們可以每隔一單位長度,求一次值。」

小明建議說。

「這當然是個辦法。但一來太麻煩了 -你通 常要算十來個數值以上-,二來有時會行不通。 譬如有個函數f(x),它在x=0,1,2,3,的位置如下圖:



你說曲線應如何連起來呢?」阿林目視小明。

「這還不容易,它當然應該像f1(x)」:



「你怎麼知道它不在1和2之間彎一次,像f2(x)那樣呢?或甚至 大彎若干次,像f3(x)那樣?」

「這個......,這個......,好像不太可能嘛!」 小明被問住了。 「當然可能啊!有什麼理由說是不可能?」

「......」

「可見分別求1,2,3,......的數值並不可靠。 即使求0.1,0.2,......,0.9,1,1.1,......也未必可靠。 它照樣沒有保證,反而增加一些不必要的嚕囌計算。 問題在於我們不知兩點之間,譬如1和2間,或 0.3及0.4之間函數會怎麼變。即使再把間隔取得更小, 也還是個間隔,依舊不知函數在這中間會不 會上下跳躍幾次?先上升?或先下降等等。」

「那怎麼辦呢?」 「你想,要知道這其間的變化情形,該怎麼辦?」

「用微積分!」小華急應著 。

「對啦!變化的研究當然該用微積分,我們困 難在於不知其間的升升降降,盲目地算出在1,2,3,...... 等固定的點是毫無意義的。我們該找出關鍵的幾點......」

「我知道了,是不是該算出曲線從上升變成下 降或從下降變成上升的那幾點?」小華靈機一動。

「完全正確!」,阿林十分讚許:「這些點叫做 函數的局部極大或極小點。現在問題是該如何去求它們呢?」

「用微分......」

「當然用微分。但要如何用法?」阿林停了一 下,看看沒有反應:「給你們一些提示。在這些極 大或極小點,函數的變化率是多少?或者說,切線的斜率是多少?」

「切線好像是平平的直線。」

「對啦!水平線的斜率是0,就是說變化率為0。 想想看,變化率如果是大於0,那表示函數值是 愈來愈大,或者曲線是上升,如圖甲:





如果小於0,就是愈來愈大 ,或是曲線下降,如圖乙。 現在是由升而降(或由降而升),顯然不會是 大於0或小於0。只好等於0了。

「所以,我們只需求導來函數,算出這函數等 於0的值,便就是所要的極大極小值了。算出這些值來, 函數曲線便可運出來,不用擔心其間會再曲曲折折了。」

說到這兒,看到小華用手掩住口,打了個哈欠。 「好了,以上告訴我們如何用微分來研究曲線的一個例子。 它當然還有其他更多的應用,可更正確 告訴我們曲線的詳情。但原理都差不多,我們不再詳舉了。 以後有機會再談罷。」阿林結束了他的討論。

   

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編輯:洪瑛 / 校對:黃信元 / 繪圖:簡立欣 最後修改日期:3/19/2002