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阿林談微積分 (第 2 頁)

曹亮吉

 

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.原載於科學月刊第一卷第四、六、七期,分三期刊出
.作者當時任教於台大數學系
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中篇

又是個郊遊的好天氣。山坡幾叢野花把綠色草坪點綴得更熱鬧,遠遠望去, 向陽的青山鮮明地凸在淺藍的天際,兩三朵白雲悠閒地飄浮著。

坐在車窗位置的小明貪看得出神,小華卻又嘰嘰呱呱的:「這條路好多了, 車子開得又快又平穩,不像上次前仰後$\cdots\cdots$唉唷!」 猛然來個緊急剎車,把他還沒講完的話一併剎住了。

一直到了目的地下車,小華還在嘀咕:「$\cdots\cdots$開那麼快,也不注意一下, 這實在太危險了$\cdots\cdots$

「開得快就危險嗎?那你下次乾脆坐牛車算了。」小明不耐煩了。

「速度快當然危險。」

「速度快就危險嗎?」阿林忽然開口了,「譬如你在房間慢慢走, 是不是就安全?」

「當然?!」

「但假若你是在特快車的車廂媞C慢走呢?」

「那就危險了。」

「為什麼呢?你不是同樣地慢慢走嗎?」

「因為人在火車,火車動得快。」

「在動得快的東西奡N危險嗎?」阿林頓了一下, 「你知不知道地球在動-就是說在自轉?」

兩人都點點頭。

「房間是連在地球上的,就好比車廂是連在火車上。地球轉得那麼快, 那麼人在房間媞C慢走豈不是更危險嗎?」

「?」

「可見速度快不一定就危險。噴射機比火車還快,但卻很安穩。」

「但是一出事就危險了。」

「對啦!關鍵就在於『出事』。」阿林正要滔滔不絕 的講下去,忽然看到一隻蝴蝶飛過去,順著眼光, 一群學生正在不遠的一塊草地上玩團體遊戲。「噯!回去再談罷。 這麼好的景色$\cdots\cdots$。」

當天晚上,阿林對著兩張充滿問號的臉孔:「$\cdots\cdots$問題在於 『變化』兩個字。速度快並不危險,危險出在速度驟然變化, 好比飛機撞山,瞬時間由高速停下來,那就危險了。今天上午緊急剎車便是如此。 地球雖在轉動,速度很快,可是$\cdots\cdots$

忽然有個問題閃進小明腦海:「地球轉這麼快,我們怎麼不知道呢? 這末說來快慢並沒有一定標準?」

「問得很好!我們必需先了解速度是怎麼回事。讓我們從頭想起, 什麼叫速度?」

「速度就是單位時間的位移。」小華背起教科學。

「什麼叫單位時間?什麼叫位移?」

小華呆住了。

「不要緊張。現在不是在考試,不用背那些生硬的專有名詞, 重要的是要了解觀念或真正意義。讓我們先看看,一提起速度, 你會聯想到什麼?」

「有東西在動。」

「對啦!這就是重點所在。東西要動,才有速度。事實上,速度就是量『動』 的大小與方向。那麼,什麼叫做『動』呢?」

「動就是動啊!」小華茫然不解地應著。

「哈!你一定沒搞清楚我在問什麼$\cdots\cdots$

「動就是在動嘛。這樣簡單的東西有什麼好問的?」小華脹紅了臉爭辯。

「這正是我們平日對熟悉事情習焉不察的毛病。事實上,『動』的觀念, 是由三個更基本的觀念組成的。如果只是模模糊糊知道什麼是『動』,並且很滿足地 認為太粗淺,不值得細思,就不可能想到這三個更基本的觀念。」

「是那三個?」

「這三個是『空間』(或位置)、『時間』及『變化』。東西在動,表示它在 『空間』上的位置隨『時間』而『變化』。空間和時間的研究,是物 理學家的事,我們不去管它。我們只需知道,在討論變化時,位置是相對於那個空 間系統-比如說,是相對於火車?相對於地球表面?相對於太陽?等等,就是說我們要 先選一個參考系統。」

「哦!我知道了。剛才的毛病是出在參考系統的問題上。」小明豁然開通了。

「正是如此。現在我們已選定了一個參考系統,我們就可研究位置因時間變化的 情形。」

「為什麼專討論因時間而變化的情形?」

「問得很好。事實上,我們只要研究變化,至於因什麼而變化,那是無關緊要。 只因我們是在討論速度,所以說是因時間而變化。」

「因此,我們要研究的只是某個量因另個量而變化的情形。一個量f因另個量 x而變化,便是所謂函數f(x)。於是,在研究『速度』中,我們把一些實在的 物理觀念,如空間位置,時間一併除去,而改用較抽象的函數、自變數來代替,速度 的研究便轉為函數的研究。這種抽象化的方式,是數學 的精神所在。抽象化過的東西、雖較不直覺,但卻具有更廣泛的應用。

「閒話少說,我們就來研究函數的變化吧。為便於研究,最好還是把它畫出一個 圖形-函數圖形來。你知道怎麼畫嗎?」

「把x當作橫軸,f(x)當作縱軸、垂直相交,就像解析幾何中的卡氏座標。」 小華搶著回答。

「一點不錯,正是解析幾何中的座標。事實上,微積分和解析幾何的關係異常密切。 在歷史上,也是笛卡爾發明了解析幾何,使函數可用曲線來表示,才有微分學及微 積分的發展。

「現在讓我們從變化來看看各種函數圖形。最簡單的情形就是不變化,即函數的值固 定-這等於空間的位置不變,就是說不動。因此變化量,或速度便等於0。畫出圖形 如下:



圖一

「次簡單是變化率固定。如果它是增大,便一直用相同的比率增大。 在實例中,這便相當於等速度。倘若變化率是k(速度大小是v), 自變數從0增為x(等於過了t時間),函數值便增加kx(等於移了vt的距離)。 如果開始(x=0時)函數值為b,則函數可寫成:

f(x)=kx+b



圖二

「看到了嗎?這也是條直線。在解析幾何中,k是這條直線的什麼呢?」

「斜率。」兩人爭著回答。

「不錯。在解析幾何中,斜率是怎麼求呢?」

「這就等於k啊!」小明奇怪了。

k等於$\tan\theta$。」小華說。

「我問的是更原始的求法。」

「哦!我知道了。它是等於高和底之比。」小華在圖上畫了兩個線段,標明xy:



圖三

「斜率k便是$k=\frac{y}{x}$。」

「這正是我們要的。如果回到速度例子,這便等於在x時間內移了y的位置。 但在這堙A我們用不著從f(x)x-軸的交點算起。我們只需任意取兩點, 如x0x1,相對的便有f(x0)f(x1),兩個長度相減,顯然得到相同結 果:



圖四

「好了。接著我們可以研究更複雜函數的變化。譬如,函數是下列形狀:



圖五

我們要如何討論它的變化情形呢?顯然,它的變化率是不一致的(如果一致,那就是 直線了)。在直線,變化率等於直線的斜率,在曲線,有沒有斜率這個觀念呢?」

小明小華互望了一眼,又轉回看阿林。

「我們可以從前面最後一個式子著手。我們照樣找兩點 x0x1,那麼:

\begin{displaymath}\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}\end{displaymath}



圖六

便是過這兩點直線的斜率,從圖形可知,這條直線(叫割線)和曲線本身很接近。 我們又知道,曲線變化率各點並不一致,只能先拿一點x0來研究。因此我們把 x0固定,把x1變動。顯然,x1愈靠近x0,割線的斜率便愈接近曲線在 x0的變化率。

「打個比喻:在速度的情形,要求出在一點的速度,該怎麼算呢?速度是移動距離除以 所需時間。如果這時間取得很久,算出的平均速度就會和那點的真正速度相差很多。 時間愈短,平均速度愈靠近在那點的真正速度。當時間趨近於零時,這些平均速度 的極限,便是那點的真正速度-叫瞬時速度。

「因此我們可把曲線在x0的變化率定義作:

\begin{displaymath}
f'(x_0) = \lim_{\triangle x \rightarrow 0}
\frac{f(x_0+\triangle x)-f(x_0)}{\triangle x}
\end{displaymath}

$\triangle x$便是x0x1的差。 $\lim{\triangle x \rightarrow 0}$代表 這差別趨近於零這就是說:我們依次取x1,x2,x3, $\cdots\cdots$ 等等,愈來 愈靠近x0(即$\triangle x$愈來愈小)。對每一個xx0可畫出一條割線, 割線有斜率。當$\triangle x$愈來愈小,終於趨近於0,這斜率便是函數在x0的 變化率。同時你可看出,這些割線的極限位置便是曲線在x0的切線。因此,函數 在x0的變化率,便等於曲線在x0切線的斜率。



圖七

「這一步驟叫求微分。我們便看到,求微分等於求函數曲線的切線。」

「有問題。」小華忽然張直了喉嚨:「你說讓$\triangle x$趨近於零。但零是 不能當除數的呀!」

「這是個關鍵的問題,」阿林以嘉許的口吻:「我只說$\triangle x$趨近於零, 但並沒說它等於零。」

「趨近於零和等於零不是差不多嗎?」小華毫不放鬆。

「當然不一樣。趨近於零的意義,是說我們先算出整個分數值:

\begin{displaymath}
\frac{f(x_0+\triangle x)-f(x_0)}{\triangle x}
\end{displaymath}

再求極限。對不同的$\triangle x$,我們依次算出各個分數值。$\triangle x$雖愈 來愈小,但分子 $f(x_0+\triangle x)-f(x_0)$也可能愈來愈小,整個分數值便可能都是 有限值;而且當$\triangle x$趨近於零時,這些分數值便可能趨近於某一定值,這一個定值 便是這些分數值串的極限,就是函數在x0的變化率了。

「但如果$\triangle x=0$,分子 f(x0+0)-f(x0)=0,變成 $\frac{0}{0}$是沒有意義的符號。這末一來,這數串便會變得沒有意義。 所以$\triangle x$決不能讓它等於 0。趨近於零雖和等於零看來相差無幾,卻是『差之毫厘,失之千里』的啊!」

「我明白了。」小華點點頭,但緊接著又問:「你剛才為什麼說:『可能』都是有限值,『可能』趨近於零。為什麼這麼模稜兩可?難道有例外嗎?」

「你很仔細,」阿林讚道:「事實正是如此。它們不一定會趨近於某個定值; 可能變為無窮大,可能根本就不趨近某個定值。從圖形看來,這相當於一個函 數曲線不一定有切線。最簡單的,如:



圖八

由兩個半直線構成。在x0右邊那一段,有一個斜率;在左邊也有另一個不同的。 因此在x0那點,用以前的公式,把x1取大於x0得一個值,小於x0得 另一個值此兩值完全不同,顯然不會同趨近於一個定值了。

「又如函數根本在x0是不連續的,如:



圖九

你看,當x1很靠近x0時,$\triangle x$便趨近於零;但f(x1)-f(x0)卻一定大於一個固定值a,於是分數值便會變得很大很大,不會趨近於某個有限定值了。

「所以函數不一定每一點都可求出變化率-用術語來說,它不一定可微分。事實上,要可微分的限制相當大;首先,這個函數一定要連續。即使連續,還不一定 就可微分。剛才舉的那個折線例子便是連續的。事實上,我們可找出一個到處 是連續,但卻無處可微分的函數。」

「我整個都不很清楚。能不能舉個實例算算?」小明問。

「好的,譬如我們來求f(x)=x2x0的變化率。用前面的公式:

\begin{displaymath}
f'(x_0) = \lim_{\triangle x \rightarrow 0}
\frac{f(x_0+\triangle x)-f(x_0)}{\triangle x}
\end{displaymath}


\begin{eqnarray*}
f(x_0+\triangle x) &=& (x_0+\triangle x)^2 \\
&=& x_0^2+2\cdot\triangle x \cdot x_0+(\triangle x)^2\\
f(x_0) &=& x_0^2\\
\end{eqnarray*}


所以 $f(x_0+\triangle x)-f(x_0)$ $=2(\triangle x)\cdot x_0+(\triangle x)^2$ 我們一定要先求出分數值,再求極限。所以先用$\triangle x$除上式,得

\begin{displaymath}
\frac{f(x_0+\triangle x)-f(x_0)}{\triangle x}=2x_0+(\triangle x)
\end{displaymath}

這時令$\triangle x$趨近於零。所謂趨近於零,就是非常靠近零,它和零的差別可小於任何固定的正數。既然如此,我們可把它略過不計。因此x2x0的變化率是2 x0

「在這個例子中,我們可看出 $\triangle x \rightarrow 0$也有實際功用。同法你 可算出x33x02x44x03 $\cdots\cdots$ 等。一般而言,xnx0的變化率為n x0n-1。微分通常是個工具,而且是最有用的數學工具。一些基本運算必需熟練。」

「它有些什麼用途呢?」

「哦!那是說不完的。我們從它的根本意義或基本的性質來說明它幾個主要的應用。

「首先是它很容易算,譬如我們一看到xn,那麼它在x0的變化率便是 n x0n-1了。求變化率,又有很多美麗的性質,例如f(x)g(x)都 是可微分的,在x0的變化率分別為f'(x0)g'(x0),則 (f+g)(x) 這個加起來的函數也必是可微分,其在x0的變化率為 f'(x0)+g'(x0):

(f+g)'(x0)=f'(x0)+g'(x0)

又把f(x)乘上個常數a倍:a f(x),一樣可微分,變化率剛好是 a f'(x0)。」

「這很顯然嘛。有什麼用呢?」

「如果你的『顯然』是說它很容易從變化率的定義證明出來,那還差不多; 但如果你以為所有運算根本就應有這個性質,那就不見得了。滿足這兩個性質的運 算就叫線性運算。微分是線性運算,積分也是線性運算。你說線性是很顯然的, 那你會證明積分是線性運算嗎?」

看看沒有答腔,阿林又繼續:「其實它還是很容易證的。你有空自己試試看吧。 線性運算用途大得很,例如求3x5-2x的變化率 ,我們便可看成3x5-2x 二個函數之和而分別求之;3x5又是3乘上x5x5我們已會求,3x5便得出了。 同法-2x也知道。這樣,用線性我們可求出所有多項式函數的變化率。

「微分另有許多好的性質,這堣ㄧ埡|了。這些性質使微分變得很容易運算。 因為它很容易運算,才會有極廣泛的用途。」

「舉個對比的例子,就可知道「容易運算」的重要。前次我們提過,積分也會有很 多用途。但在微分和積分間的關係被發現以前,積分應用並不廣,雖然早在西元前 它已被發明,但一千多年來它幾乎沒什麼進展。主要關鍵就在於它太不容易計算。 一直到牛頓、萊布尼茲發現它和微分之間的關係,用它來找出些積分的方法,積分才 突然廣泛被應用。」

   

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編輯:洪瑛 / 校對:黃信元 / 繪圖:簡立欣 最後修改日期:3/19/2002