四元數與Cayley數 (第 4 頁)

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四元數與Cayley數（第 4 頁）

余文卿

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．原載於數學傳播十五卷二期
．作者當時任教於中正大學數學所
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四、四平方和和八平方和

四平方和定理告訴我們：任一正整數n必可表成四個整數的平方和；即不定方程式

x²+y²+z²+w²=n

至少有一組整數解。以A₄(n)表示上面方程式之整數解的個數，則A₄(1)=8，A₄(2)=24，A₄(3)=32 ；一般式為

$\begin{displaymath}A_{4}(n)=8\sum_{d\vert n,4\neq d}d\end{displaymath}$

當n是奇數時， A₄(n)=8 x (n的正奇因數和)；當n是偶數時， A₄(n)=24 x (n的正奇因數和)。

因任意正整數可表成四平方和，自然也可以表成八平方和，以A₈(n)表示將n表成八平方和的方法，則有

$\begin{displaymath}A_{8}(n)=16\sum_{d\vert n}(-1)^{n-d}d^{3}\end{displaymath}$

如何導出A₄(n)與A₈(n)呢?這並不是容易的事，需用到模型式(modular forms)與theta級數的理論。常見的方法是考慮theta數

$\begin{displaymath}\theta(z)=\sum_{n\rightarrow-\infty}^{\infty}e^{\pi in^{2}z},z=x+iy,y>0\end{displaymath}$

則有

$\begin{eqnarray*} & &[\theta(z)]^{4}={\sum_{n=0}^{\infty}}A_{4}(n)e^{\pi inz}\\ & &[\theta(z)]^{8}={\sum_{n=0}^{\infty}}A_{8}(n)e^{\pi inz} \end{eqnarray*}$

利用 $[\theta(z)]^{4}$ 與 $[\theta(z)]^{8}$ 的其他表現式，即可得出A₄(n)與A₈(n)的數值表示。

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編輯：許明吉 ∕ 校對：黃怡碧

最後修改日期：4/26/2002