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四元數與Cayley數 (第 3 頁)

余文卿

 

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.原載於數學傳播十五卷二期
.作者當時任教於中正大學數學所
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三、Cayley數

Cayley 數是由四元數 H 加入另一單位 e 而得,即

\begin{displaymath}\mathcal{C}=\{P+Qe\vert P,Q\in H\}\end{displaymath}

乘法的定義是

\begin{eqnarray*}
& &(P+Qe)(R+Se)\\
&=&(PR-\overline{S}Q)+(SP+Q\overline{R})e
\end{eqnarray*}


Cayley 數 $\mathcal{C}$ 中,除 H 中原來就有的 4 個單位 1,i,j,k 外,另由 e 與這四個單位相乘而得出四個單位。因此 C 中共有 8 個單位; 而以 e0(=1),e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7 分別表示,這些單位與原先單位 i,j,k,e 的關係為

e0=1,e1=j,e2=i,e3=e,e4=-k,e5=ie,e6=ke,e7=je

每一Cayley數都可表成

\begin{displaymath}x=\sum a_{j}e_{j},a_{j}\in R\end{displaymath}

而單位之間的乘法滿足下面的法則:

  1. $xe_0=e_0x=x, \forall x \in \mathcal{C}$
  2. $e_{i}^{2}=-e_{0},i=1,2,\cdots\cdots ,7$
  3. e1e2e4=e2e3e5=e3e4e6=e4e5e7=e5e6e1=e6e7e2=e7e1e3=-e0

現將上面的法則說明如下:

第一式表明e0=1$\mathcal{C}$中乘法$\mathcal{C}$的單位元素。

第二式表明8個單位,除e0外,其他的7個單位的平方都是-1,故方程式x2+1=0$\mathcal{C}$中至少會有7個解。

第三式中,列出一些可結合之單位的連乘積。直接的驗證顯示$\mathcal{C}$中的乘法沒有結合律,即

(xy)z=x(yz)

不一定成立;而在沒有結合律的乘法中,(3)式中的連乘積應是沒有意義。但事實並沒有想像中的壞,$\mathcal{C}$ 中的某些單位的乘積確有結合律。以 e1e2e4=-e0來說,這式子表示的意義有二:

  1. e1(e2e4)=(e1e2)e4=-e0
  2. e1e2=-e2e1=e4,e2e4=-e4e2=e2,e4e1=-e1e4=e2

回顧一下,四元數H中的單位i,j,k也具有同樣性質, 因而HR e0+R e1+R e2+R e4也同樣的代數結構。

當然 e1,e2,e4只是(3)式的一特例,另外尚有6個, 如 e2e3e5=-e0也表示 R e0+R e2+R e3+R e5H有相同的代數結構。

現在來看兩個不可結合的例子。

(e1e2)e3=e4e3=-e3e4=-e6

另一方面

e1(e2e3)=e1e5=e6

$(e_{1}e_{2})e_{3}\neq e_{1}(e_{2}e_{3})$

\begin{eqnarray*}
& &(e_{1}e_{2})(e_{3}e_{4})=e_{4}e_{6}=e_{3}\\
& &[e_{1}(e_{2...
... &e_{1}[(e_{2}e_{3})e_{4}]=e_{1}(e_{5}e_{4})=e_{1}(-e_{7})=e_{3}
\end{eqnarray*}


上面例子顯示單位相乘,因不具結合性,算出的結果會有符號上的差異。

Cayley數中, $x=\sum_{i=0}^{7}a_{i}e_{i}$的共軛數定為 $\overline{x}=2a_{0}-x$,亦即 $\overline{x}=a_{0}e_{0}-\sum_{i=1}^{7}a_{i}e_{i}$。又範數N的定義是

\begin{displaymath}N(x)=x\overline{x}=\overline{x}x=\sum_{i=0}^{7}a_{i}^{2}\end{displaymath}

因而,若$x\neq 0$,則x有一乘法反元素[N(x)]-1x

證明 N(XY)=N(X)N(Y)並不簡單,這要用到一些特殊乘積的結合性,即


\begin{displaymath}(\overline{x}x)y=\overline{x}(xy)\mbox{{\fontfamily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 68}}(xy)\overline{y}=x(y\overline{y})\end{displaymath}

$x={\sum_{i=0}^{7}}a_{i}e_{i}$$y={\sum_{i=0}^{7}}b_{i}e_{i}$代入 N(XY)=N(X)N(Y)中即得出下 面的等式:

\begin{eqnarray*}
& &(a_{0}^{2}+a_{1}^{2}+\cdots a_{7}^{2})(b_{0}^{2}+b_{1}^{2}+...
..._{4}+a_{3}b_{7}-a_{4}b_{2}+a_{7}b_{6}-a_{6}b_{5}-a_{7}b_{3})^{2}
\end{eqnarray*}


其中$\sum$表示將足碼0固定,而將1,2,3,4,5,6,7依循環次序變換,如依次變換為2,3,4,5,6,7,1。 注意等式右邊的八個數也正好是 $(x={\sum_{j=0}^{7}}a_{j}e_{j})(x={\sum_{i=0}^{7}}b_{i}e_{i})$ 之乘積的8個係數。

實數R、複數C,四元數H與Cayley數$\mathcal{C}$都可以看成佈於R的向量空間,維數分別是1,2,4,8。 在高中階段,對C已非常熟習;但對H$\mathcal{C}$知道的人,可能非常少,甚至有些人並不知道。

   

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編輯:許明吉 / 校對:黃怡碧 最後修改日期:4/26/2002