四元數與Cayley數 (第 2 頁)

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四元數與Cayley數（第 2 頁）

余文卿

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．原載於數學傳播十五卷二期
．作者當時任教於中正大學數學所
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二、四元數

仿照實數係到複數係加入虛數單位的方法，我們可以再複數系中加入另一單位j，而定為四元數為

$\begin{displaymath}\mathbf{H}=\{\alpha+\beta j\vert\alpha,\beta\in \mathbf{C}\}\end{displaymath}$

在H中,很容易定出加法，即

$\begin{displaymath}(\alpha+\beta j)+(\gamma+\delta j)=(\alpha+\gamma)+(\beta+\delta)j\end{displaymath}$

如此H成為一加法群。應如何定義H中的乘法呢?首先設定j²=-1，要是定ij=ji，會有什麼結果呢? 如此，則

(1+ij)(i+j)=i+j+iji+ij²=0

有零因子產生，這是數系發展最不願意見到的結果；其實，尚可由ij=ji導出其他不好的性質，若定 ij=-ji，則H中的乘法是

$\begin{displaymath}(\alpha+\beta j)(\gamma+\delta j)=(\alpha\gamma-\beta\overline{\delta})+(\beta\overline{\gamma}+\alpha\delta)j\end{displaymath}$

在定義 H 中的乘法同時，我們也把原來 C 中的交換性犧牲掉了，因 ij=-ji，習慣上，我們將 ij 以另一符號 k 表示，故

$\begin{displaymath}\mathbf{H}={a+bi+cj+dk\vert a,b,c,d\in \mathbf{R}}\end{displaymath}$

而其中i,j,k滿足

i²=j²=k²=-1
ij=-ji=k,jk=-kj=i,ki=-ik=j

而兩四元數 (a₀+a₁i+a₂j+a₃k)(b₀+b₁i+b₂j+b₃k) 的乘法則是展開後利用(1)， (2)組合而成，結果是：

$\begin{eqnarray*} & &(a_{0}b_{0}-a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3})\\ &+&(a_{0}b... ..._{1}b_{3})j\\ &+&(a_{0}b_{3}+a_{3}b_{0}+a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})k \end{eqnarray*}$

在 H中，a+bi+cj+dk的共軛數是a-bi-cj-dk，又

N(bi+cj+dk)=a²+b²+c²+d²

由定義，我們可得證出 N(xy)=N(x)N(y)將 x=a₀+a₁i+a₂j+a₃k,y=b₀+b₁i+b₂j+b₃k 代入得

$\begin{eqnarray*} & &(a_{0}^{2}+a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2})(b_{0}^{2}+b_{1}^{... ..._{3})^2\\ && {}+(a_{0}b_{3}+a_{3}b_{0}+a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})^2 \end{eqnarray*}$

這就是有名的Largrange等式，在證明四平方和定理(任何一正整數都可表成四整數的平方和)中扮演非常重要的角色。

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編輯：許明吉 ∕ 校對：黃怡碧

最後修改日期：4/26/2002