研究了 n 元量的度量關係的決定方式之後，我們可以給出決定物理空間的度量關係的充要條件；但大前提是，先假設線長是獨立於其形狀，且線元素可表成微分平方式的方根──因此極微小的狀態可視為「平」的。

首先，這些條件可以表成為在每一點有三個面方向，它們的曲率為0；因此，只要三角形三內角和等於兩直角，物理空間的度量關係便確立了。

但其次，如果我們跟歐幾里德一樣，假設不止線獨立於形狀，而體亦然，則結果將是曲率處處為定數；而知道一個三角形的內角和，便知道所有三角形的內角和。

第三，也是最後，與其假設線的長度獨立於位置、方向，亦可假設長度與方向獨立於位置。基於這個觀念，位置的差或變化，是用三個獨立單位表示的複數。

在前述討論中，我們先將延展性（extension）或區域性（regionality）的觀念和度量關係分開， 然後發現同一個延展關係下可以容許不同的度量關係；我們選擇了一套特殊的度量， 使得物理空間的度量關係得以由此確定，而所有相關的定理可由此推得。 接下來要討論的是，這些假設的產生，是如何依賴經驗。在這裡，延展關係和度量關係差別就大了： 前述第一種情形的可能狀態是離散的，其得自經驗的理解雖未必完全確定，卻是準確的；而第二種可能狀態是連續的，經驗的取決準確率再高，仍是不準的。這種分別，在將經驗擴充到觀察所不能及的大範圍和小範圍時，會特別重要，後者會在觀察能力之外越來越模糊，但前者不會。

物理空間的建構推廣到超乎量度之大時，注意「無界」與「無限」之別，一個是延展關係的，一個是度量關係的。空間是一個無界的三元流形這件事，是一個被用於所有的對外在世界的理解的一個假設。擴充感官認知時要用到它，探索物體的可能位置時也要用到它；從這些用途中不斷肯定這個假設。空閒無界的性質，其確切性比任何一種外在的經驗都強，但無限性卻無法由此得到；恰恰相反的是，如果假設物體獨立於位置，因而給定一個固定的正曲率（不管多小都可以），則物理空間必屬有限。如果在一個曲面方向把初始向量沿長成最短曲線，可以得到一個正常曲率的無界曲面，因而該曲面若在平的三元流形內，必為一球面，因而是有限的。

超測度之大的問題，對處理自然界現象是沒有用的。但超測度之小的問題則不同。我們對於微觀現象的因果關係的知識，有賴於我們處理無限小問題的精確度。近幾個世紀，人類對於自然界運作方式的理解幾乎全來自建構的精確性，這種精確性來自無限量分析的發明，以及現代物理所借助的阿基米德、牛頓、珈琍略等人的原理。相對的，在尚無法運用這種原理的自然科學中，它的因果關係仍有賴於微量的分析，但只能做到顯微鏡的放大極限為止。因此，物理空間的度量關係中，無限小的問題並非無用。

我們若假設物體獨立於位置而存在，則曲率必處處為常數，而由天文觀測中可知，這個常數不能非0；至少，其倒數必大到使望遠鏡的觀測範圍變得微不足道。但如果物體不獨立於位置而存在，則無限小的度量關係便不能由無限大的來下結論；每一點的曲率都可以在三個方向自由變動，只要滿足空間中每一個可測量的部分的總曲率顯然是0。若線元素無法如先前所述，表為微分式平方和的方根，關係會變得更複雜。物理空間度量關係的基本認知來自剛體和光束的概念，而它們似在無限小的世界中並不適用；因此可以相當肯定的認為，物理空間中的度量關係，在無限小的時侯並不合乎幾何學的假說。事實上，只要這點能夠更方便我們解釋現象，就應立即接受這個假設。

幾何學的假說在無限小時是否適用的問題，牽涉到空間度量關係的基礎。關於此問題（仍屬物理空間的研究），上述的註腳是適用的；在離散流形中，度量關係的原理已經包含在流形的概念中；但在連續的情形，則必須來自別處。因此，要就是物理空間的深層結構是離散流形，要不就是其度量關係的基礎必須自外界尋找，如作用其上的束縛力。

要回答這些問題，必須從現象的理解出發，理解這些經驗所認可的現象；牛頓打下了它的基礎，並一步步用其所無法解釋的現象加以修正。像前面這種，從一般概念出發的研究，只能保證我們的工作並未受狹隘的觀念所限，傳統的偏見並未阻礙我們理解事物的關連性。

這就把我們帶進了另一個領域──物理學，我想我們就此打住吧!