在嘗試解決第一個問題── n 元延伸量概念的建立之前，我懇求大家多批評指教，因為在這種哲學性質的工作上，觀念比理論建構還難，而我在這方面所受的訓練甚少。過去所學，除了樞密顧問高斯談雙二次剩餘的第二篇論文中的少許提示，他的五十週年紀念冊及哥廷根學術雜誌中的點滴及赫巴特 (Herbart) 的一些哲學研究外，也少能派上用場。

要了解「量」必須先有一個關於「量」的普遍觀念和一些能體現它的特殊事例 (instance)。這些事例形成了所謂的 流形：任兩事例若可以連續地漸次轉移成為彼此，是連續流形，否則為離散流形。個別事例在前者中稱為「點」(point)，在後者稱為「元素」(element)。構成離散流形的例子很多，至少在較高等的語言中一定可以找得到──只要能夠理解一堆東西擺在一起的觀念就夠了（在離散量的研究中，數學家可以毫不遲疑地假設所有的「東西」都是同類的）。反過來說，連續流形的例子在日常生活中很少，大概只有顏色以及實際物體的所有位置可以算是多元量的幾個簡單實例。這種概念的創造與發展最先並屢屢出現於高等數學。

利用標記或圈圍取出流形的某些部分，稱為「量」。對「量」的定量比較工作， 在離散的情形可以用數的，在連續的情況下則需靠測量。測量需將兩個被比較的量疊合； 因此必須選出一個量，充當其他量的測量標準。否則，我們只能在一個量包含於另一個量時才能作比較，只能談「較多」(more)、「較少」(less)，而不知絕對的「大小」(how much)。以這種的方式進行，形成了對「量」研究的一個部門。其中「量」的觀念獨立於測距 (measurement)，而相依於位置；不以單位表示，而是必須視為流形上的區域。 這項研究對數學許多部門而言是必要的（例如多變數解析函數的處理），而這種研究的缺乏，正是阿貝爾 (Abel) 的著名定理及拉格郎吉 (Lagrange)、發府 (Phaff) 和亞各比 (Jacobi) 等人的貢獻之所以未能在微分方程一般理論中有所發揮的主要原因。從「延伸量」的科學的這個部門出發，不需借助任何其他的假設，我們首需強調兩點，以澄清「n 元延伸量」的基本性質。第一點是關於「多元延伸量」這種概念的建立，而第二點則提到如何將流形中定位置的問題轉化為決定數值的問題。

在一個概念下的事例如果構成連續流形，則從其中的一個事例以確定的方式移動到另一個事例時，中間所經過的所有事例會構成一個一元延伸的流形。它的特色是，從其中任一點出發，則只有兩個方向可供連續移動：亦即非往前則往後。現在，我們想像這個一元流形以確定的方式移向另一個完全不同的一元流形，以致於舊流形上每一點都確定的走向新流形上的對應點，則仿前述，這樣的例子便構成了一個二元延伸流形。以此類推，我們可以想像一個二元延伸流形確定地移向一個完全不同的二元流形而得到一個三元延伸流形，不難看出如何繼續這個建構。如果我們把這個過程中的參與者看成是變動的，而非固定的概念，則這種建構可以看成是融合 n 維和一維的變動度 (variability) 而得到 n+1 維的變動度。

反之，我現在要說明怎樣將一個具已知邊界的變動度分解為一個一維變動度及一個較低維的變動度。 考慮流形上沿一個一維向度的分解，固定其中之一，使其分解上的點得以相互比較。 沿這個向度上的每一點都給定一個值，值隨著點的不同而連續變化。換句話說， 我們可以在這個給定的流形上定出一個連續的位置函數，使在流形上的任一區，函數的值絕非常數。 則當此函數的值固定時，共享此值的所有原流形上的點，便形成了一個較低維的連續流形。函數值改變時， 這些流形便分解而連續地從一個變為另一個；我們因而可以假定它們全部都是同一個子流形的變換， 而這種變換會使得第一個子流形上的每一點規律地對應到第二個子流形上的每一點。也有些例外的情形， 它們相當重要，在此略過。這樣，流形上點的位置，便可化簡為一個數字以及一個較低維的子流形上的點的位置。 我們不難發現，原流形若是 n 維，則分解後所得到的子流形必有 n - 1 維，這個過程重覆 n 次以後， 一個 n 元流形上的位置關係便可化為 n 個數字；任一個流形若可依此法予以化簡， 則化簡的結果必然是有限個數字。不過也有些較特殊的流形，其位置最後化簡的結果是無窮列或連續體。 這流形的例子有：某一區域上的所有函數、一個實體的所有形狀等等。