設想我們再作一連串的試驗，而每次試驗所可能發生的結果定為 E₁,E₂,… E_n,…。（可能是有限也可能是無限）。 每一個結果 E_k，我們若能給定一個出現的可能性 p_k（即機率），則對某一特定樣本之序列 E_j1 E_j2 … E_jn，我們知道它出現的機率是 p(E_j1 E_j2 … E_jn) =p_j1 … P_jn。這個是試驗與試驗彼此互相獨立的基本精神。但在馬可夫鏈的理論中，我們的目的就是要擺脫「獨立」的這個假設，因此我們沒有辦法知道（也就是沒有辦法給定）每一個事件出現的可能性； 也就是說「p_k」是不存在的。不過我們總得要知道一些東西才能討論， 所以在馬可夫鏈中我們考慮最簡單的「相關」性。在這種情況下，我們不能給任一個事件 E_j 一個機率 p_j 但我們給一對事件 (E_j,E_k) 一個 機率 p_jk，這個時候 p_jk 的解釋是一種條件機率，就是假設在某次試驗中 E_j 已經出現，而在下一次試驗中 E_k 出現的機率。除了 p_jk 之外 ，我們還須要知道第一次試驗中 E_j 出現的機率 a_j。有了這些資料後，一個樣本序列 E_j0 E_j1 … E_jn（也就是說第零次試驗結果是E_j0，第一次試驗是 E_j1……第 n 次試驗是 E_jn）的機率就很清楚的是 P(E_j0,E_j1,E_jn) =a_j p_j0j1 p_j1j2 … p_jn-1jn。

有了以上的概念後，現在讓我們用一些數學符號來表示這些數量。 在常用的術語中，用 S 來表示狀態空間，也就是一個試驗所有可能出現的狀態所成的集合。令 X_n 表示在第 n 次試驗的結果。所以 X_n 是一個隨機變數，它的取值是在狀態空間S中。

定義1：

一組值在 S 中的隨機變數 X₀,X₁,X₂ 稱為馬可夫鏈。如果它滿足以下的條件：

其中 x₀, x₁,…,x_n+1 皆屬於 S。

(1)式的意思是說我們以 P_xy 或 P(x,y) 表示 P ( )，假設我們知道第 0 次到第 n 次的試驗結果，則第 n+1 次的試驗結果僅僅和第 n 次有關，我們舉一些例子來看：（為了簡單起見，本文只討論平穩的馬可夫鏈。也就是說(1)中的轉換機率和狀態有關但和時間無關。）

例一：

設有一賭徒甲帶了現金若干去賭場賭博。如果他每贏一次則贏一元而每輸一次也輸一元， 同時贏的機率是 p（輸的機率就是 q=1-p），則 X₀,X₁,X₂, 顯然是一個馬可夫鏈。（X_n 表示他賭 n 次後手中所有的資金）為什麼呢？ 因為僅僅需要知道 X_n 的值就足以預測 X_n+1 的值，另外 並不能幫助我們做更好的預測。在這個例子中，

例二：（衍生鏈）

設想在細胞分裂中或是中子分裂的情況。第 0 代的細胞數（起始點）設為 X₀，從第 n 代衍生出來的細胞個數稱為第 n+1 代，用 X_n+1 表示。 在衍生的過程中，一個細胞可能分裂成二個或保持不變，也可能消失或（死亡），若畫圖表之，這種衍生有點像樹狀圖：

〔十分抱歉，這個圖檔已遺失〕

在這個例子中，X₀,X₁ … 是一個馬可夫鏈。因為第 n+1 代的個數顯然是和第 n 代的個數有關，但另外再告訴我們第 0,1,… n-1 代的個數並不能幫助我們做更好的估計。

例三：

假設有無窮多個瓶子，我們標以 0,1,。每一個瓶子中放不同個數球，每瓶中的球都標以 B₀,B₁,B₂, 等（不同的球可以有相同的編號），假設我們從標以 0 的瓶中隨便抽一個球，則此球的編號是 B_j，我們再從第j個瓶中抽取一球，若此球編號是 B_k，我們再從第 k 個瓶中抽取一球，……這樣一直做下去，我們就得到一個馬可夫鏈。原因和前面幾個例子相同。事實上任一個馬可夫鏈都和這個模型等價，我們只要適當的選取每個瓶中球的個數，同時加以適當的編號，我們就可得取第一和第二個例子。

例四：

考慮一個基因由 n 個單位所合成的。在此 n 個單位中，每一個不是正常的就是突變的。 現在這些細胞要分裂，分裂前基因先要完全複製一次，也就是有了 2n 個單位。假設一個細胞一分為二，則此二個子細胞中的基因也是有 n 個單位，但此 n 個單位是由原來母細胞中 2n 個單位隨意挑選出來的！ 若以 X_n 表示細胞分裂 n 次後某一個子細胞中突變單位的個數，則 X₀,X₁, 也是一個馬可夫鏈。 讀者可以試試看把 寫出來。