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介紹兩本數學史 (第 6 頁)

康明昌

 

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.作者當時任教於台灣大學數學系

註釋
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(五)

現在的數學教育,老師都不講數學定理背後的故事。這是適當的嗎?

常常有一些理工科的朋友問我:「《范氏大代數》已經解決了代數所有的問題。唸代數還有什麼搞頭呢?」也見過一些學了一點「集合論」或「數理邏輯」的人大談數學的本質。

我一點兒也不覺得這些人有什麼不對。我只感到慚愧,慚愧我們的社會沒有出版足夠多的好的書籍啟發他們,擴大他們的眼界。他們的意願其實是好的,他們喜歡數學,尊重知識。我們的社會沒有供應足夠的養料滋育他們饑渴的心靈。

高木貞治和Struik這兩本書應該可以救救急。根本之道,還要大家多寫書,多寫高素質的書-數學史或一般的數學書籍,高中程度的或大學程度的,所有的書籍都缺乏,只有應付聯考的參考書不缺乏。

有人說:「二十世紀的數學呈放射性的發展,數學由許許多多封閉自足的體系構成,這些體系(如群論、點集拓樸、泛函分析)在其公理系統下獨立自主的發展。」尤其自二十年代抽象代數在E. Noether(1882-1933年)與E. Artin(1898-1962年)的提倡下,似乎證實了這種看法的可靠性。

數學是由公理決定的嗎?數學問題是怎樣產生的呢?數學究竟有沒有主要的潮流和最重要的目標呢?

我不願在這堸Q論這些鉅大無比的問題,我也不相信這些問題的答案是簡單的「是」或「不是」所能解釋清楚的。我只想指出,對歷史的透視將非常有助於以上問題的討論。如果想知道數學的未來,就必須知道它的過去。

我姑且引Hilbert在1900年講的一段話。他說:

數學是一個有機體,其各部份相互聯繫。不可分割的完整性是這個有機體具備充沛活力的必要條件。

Hilbert 的話在二十世紀變成完全錯誤了嗎?

抽象代數常遭到各方面的誤解。有人說:「抽象代數的誕生使代數學的研究在內容方面獨立自主,在方法上由計算變成思考」。關於前者,我建議讀者參考C. Chevalley的書《Fundamental concepts of algebra》的序言。關於後者,《史談》提供一些線索。《史談》第42-47頁告訴我們Gauss是如何的喜歡計算,第150-151頁又告訴我們Dirichlet不喜歡盲目的計算,主張「要思想清楚,直透目標的本質」。請注意,Dirichlet是Gauss的忠實的追隨者,R. Dedekind(1831-1916年)是Dirichlet的學生輩,而Dedekind正是抽象代數開山祖師E. Noether最崇拜的數學家。容許我這麼說,最精巧的計算常常導致概念性的思維。如果說抽象代數造成「計算」與「思考」的對立,倒不如說抽象代數促進它們的融合。

有人說:「數學是因應社會的需要而產生的,二十世紀不應該放棄這個傳統,只有有用的數學才值得研究。」

這種「理論」與「應用」的爭執在歷史上似乎從來沒有停息過。Gauss說:「高等整數論可以算是目前數學中最上乘的一種。天文學上縱然再有更大的發展,也不會比得上我這次發現高等整數論這般快樂。」(《史談》第2頁)。同書第59頁,是工藝學校準備創校時 ,一位化學家向國民議會的代表吹噓科學的妙用。《數學史》第193-194頁有一段Jacobi指責Fourier狹隘的功用主義。

要討論那些數學有沒有用,倒不如討論那些數學是比較有益的(healthy)。在這堙A歷史的透視同樣的變成極有用的參考資料。

從另一個角度來看,Archimedes(阿基米德,紀元前287-212年)積極的參與Syracuse城的防衛工作,中國歷代的數學家多次參與曆法的修訂,法國大革命時代度量衡的修訂就是在 Lagrange、M. Condorcet(1743-1794年)、Monge、Laplace、Legendre 等人的手中完成的 9 。 可是今日的數學家似乎越來越退縮到自己的象牙塔堙C這是多麼強烈的對比。

數學家其實應該多留意數學與其他自然科學、工程學、哲學、經濟學、歷史的關係 10 。在教學上,用數學的各種應用來引起學習動機是個好主意,可是其中分寸要如何把握呢?

現在的學生唸數學大概只看到一個接一個的定理從眼前列隊而過,數學課本變成一間十八般兵器的收藏室,凌亂而且令人頭痛。

學生們知道這些兵器往日的雄風嗎?他們知道如何正確的使用這些兵器嗎?他們有能力鑄造新的兵器嗎?

正如高木貞治說的,在複變函數課堂上,上星期教完 Taylor 定理,這星期就按著留數定理。學生大概都不知道,兩者的發現相去十年之久,並且是留數定理先誕生(《史談》第88頁)。

要使數學課程生動活潑,並且促使學生創造性的學習,教師具備數學史的知識可能是必要的。在這意義之下,我很樂意推荐這兩本書。

可惜這兩本書只處理到十九世紀。J. Dieudonne 的書《Abrege d'histoire des mathematiques: 1700-1900》,主要目的是討論十九世紀數學,實際內容卻涵蓋到二十世紀三十年代數學各種主要部門的發展。如果有人能把它譯成中文,那該多麼好!

   

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編輯:鄧惠文 最後修改日期:4/26/2002