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介紹兩本數學史 (第 2 頁)

康明昌

 

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.作者當時任教於台灣大學數學系

註釋
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(一)

《史談》的主要目的是介紹十九世紀上半世紀的數學家及其貢獻。C.F. Gauss(高斯,1777-1855年)與 N.H. Abel(1802-1829年)是其主角,而橢圓函數 (elliptic function) 是貫穿全書的一根軸線 2 。 高木貞治從Gauss怎樣解決圓的十七等分問題,進而討論求雙紐線周長的問題與雙紐線的五等分問題,橢圓積分與橢圓函數就此登場。Gauss, Abel, C.G.J. Jacobi;(1804-1851年)的風雲際會成為近世數學史最雄偉的場面之一-不過,橢圓函數的完整理論還有賴 B. Riemann(1826-1866年)與 K. Weierstrass(1815-1891年)的整理。

《史談》詳細的介紹Gauss與Abel的生平、個性及其在橢圓函數理論的貢獻。高木貞治沒有忘記隨時加上生動而且重要的時代背景的說明。可能的話,他還補充一些雋永的故事,不是道聽塗說的軼事,而是從 Gauss 的《數學日記》,Jacobi的全集,A. L. Cauchy(1789-1851年)的全集,Abel的全集擷取而來的故事。

此外,高木貞治還介紹同時代的數學和數學家,例如

(1)巴黎的工藝學校(Ecole Polytechnique)。

主要是取材自Jacobi全集第七冊的一篇演講。Jacobi是第一個在德國大學取得教職的猶太人,也是一個激進派,他對法國大革命的歷史與意義當然是瞭如指掌的。

工藝學校創校於1794年,恐怖時代結束不久。當時法國急需大量的工程師,從事船艦、道路、採礦、火藥、大炮的製造,因此決定創立工藝學校。工藝學校非常重視數學的訓練。工藝學校在數學的貢獻上主要有三點: 一、培養一批第一流的數學家; 二、改變數學家的角色,使他們在研究之外,還負上教學的責任; 三、鼓勵專業數學家出版優秀的講義與教科書,如Monge的《Geometrie descriptive》與《Feuilles d'analyse》,Lagrange 的《Theorie des fonctions analytiques》,Legendre的《Elements des geometrie》,Cauchy 的《Cours d'analyse》 3

(2)工藝學校的數學家,包括老師與學生 J.L. Lagrange(1736-1813年),G. Monge(1746-1818年),S. Poisson(1781-1840年),J. Fourier(1768-1830年),A. L. Cauchy(1789-1857年), V. Poncelet(1788-1867年)。

由於 Lagrange 經常被看做十八世紀的數學家,《史談》沒有深入的討論他。

Monge 是工藝學校的校長,雅各賓黨 (Jacobin Club) 的副主席,革命政府的海軍部長,又是拿破崙時代的上議院議長。Monge 多采多姿的一生,《史談》實在應該為他多花費一些筆墨,因為他具備卓越的行政才能與輝煌的研究成果,同時又是一個諄諄善誘的教師。

(3)E. Galois(1811-1832年)

Galois 求出五次或五次以上方程有根式解的充分必要條件 4 。Galois 在二十一歲時死於決鬥。

(4)A. L. Crelle(1780-1855年)

他雖然不是一個頂尖的數學家,他和他創辦的雜誌卻為當時德國數學的發展做出最大的貢獻。

(5)Jacobi 與 P.G.L. Dirichlet(1805-1859年)。

很可惜,描寫 Jacobi 的份量不夠,甚至不如為 Cauchy 的詳細。高木貞治也察覺到這個缺憾。

(6)三個幾何學家,使用解析方法的 A.F. Mobius(1790-1868年)與 J. Plucker(1801-1868年),使用綜合方法的 J. Steiner(1796-1863年)。

《史談》的作者顯然不滿足於僅僅列一張人名與定理的清單給讀者,他還想在最低限度下介紹數學的內容。因此,讀者在這堨i以學到一點橢圓函數的基本概念,可以瞭解數論怎樣在 Cauchy 的手中逐步發展出來。唸過微積分的人可能會對於討論級數的收斂發散感到厭煩,請看看《史談》第110-115,151-153頁,歷史會告訴你,這些嚕嚕嗦嗦的討論在十九世紀初期是如何重要。

看過《史談》的讀者可能會驚訝的問:「這就是近世數學最重要的一頁嗎?橢圓函數是什麼?為什麼我一點兒也不知道?」我的答覆是,一點兒也不錯,這正是近世數學最重要的一個環節,直到現在還是如此。我可以舉德國大數學家 F. Klein(1849-1925年)的一段話做為佐證。Klein 說:「在我的學生時代,由於 Jacobi 學派的影響,Abel 函數的理論 5 毫無疑問的被認為是當代數學的顛峰,每一個學生都想在這個領域奮勇前進。」

如果把高木貞治的《史談》比做一篇史詩,歌頌十九世紀的英雄和他們的事蹟,那麼 Struik 的《數學史》就是一本清澈澄明的哲學鉅著,它像一把明亮鋒利的刀子,冷靜而且不帶感情的剖析每一個時代的數學。

《數學史》的時間從渾沌初開的人類講到十九世紀結束為止。它除了討論西方(歐洲與希臘)的數學發展,Struik 還想兼顧到阿拉伯、印度、中國的數學。可以說,這是一本簡明而且完整的數學史。

翻一翻這本書的目錄:數學的開端,古東方,希臘,希臘社會衰落後的東方,西歐數學的開端,十七世紀,十八世紀,十九世紀。就可略知著者的野心。

可是那一本數學史的書不是這樣寫的?Struik 這本書究竟有什麼特點呢?我暫且舉幾件事說明一下:

一、Struik把握住每一個時代最重要的數學概念,並且強調這些概念是怎樣從上一個時代演化而來,怎樣影響下一個時代的數學發展。這個特點在討論希臘數學與十七世紀數學時尤其突出。

《數學史》對於重要的數學家的全部貢獻都有扼要而且權威性的敘述。這是《史談》無法比擬的。在高木貞治筆下的Gauss,我們幾乎只看到數論;Struik卻告訴我們,除了數論和代數基本定理之外,Gauss也研究過天文學、電磁學、特殊函數、微分幾何。Struik大概認為他有責任替每一個數學家做一個蓋棺定論,因此他觀察的角度非常全面,他的結論也很慎重。

正因為Struik是以做史筆的心情來寫作的,《數學史》不會像某些美國式的數學史書籍給人一種輕佻或濫情的感覺,Struik的文筆是嚴謹而且莊重。

二、Struik把數學的發展看做人類文明史的一都分,因此他非常注意社會的組織和社會的活動如何促進或如何阻礙數學的發展。

在希臘時期與文藝復興時代,他非常詳盡的討論貿易、天文、航海業、測量術、保險業如何促進數學的發展。他沒有忘記印刷術的發明對人類的貢獻。

Struik認為,集約式農業仰賴精密的天文知識,因此促進數學的發展;粗放式農業(如羅馬帝國)則否。他還認為,農業為主的社會只能發展出算術或代數的知識,幾何的理論就要依賴貿易城邦的社會來完成。他舉個例子,十五、十六世紀由於商業迅速的發達,意大利各城市流行一種「計算熱」(見《數學史》第110頁),這正好是三次與四次方程解法發現的時代。

但是Struik並不迂腐,他不是偏執狂,他非常尊重事實。他完全意識到社會環境對數學發展具有某些支配力,可是他指出:「十九世紀數學的豐收並不是新的工業所引發的技術問題而造成的;科學與實用的關連並未完全斷絕,不過常常變得模糊。」(見《數學史》第193頁)

因此Struik留下一個問題:「是什麼原因促使十九世紀或二十世紀的數學蓬勃發展?」他不願提出他自己的看法,他只提供一些背景說明。 6

三、Struik不只注意到數學知識的發展,他還注意到傳播知識的形式如何改變。

以傳播知識的場所而言,十七世紀的大學,如Bologna大學,是傳播新知識的大本營;然後大學的進步角色被學術團體取代,英國的皇家學會(Royal Society of London)、法國科學院(French Acad'emie des Sciences)應運而生;在法國大革命時代,工藝學校及其仿效者(如師範學校、Berlin大學)又變成時代的前鋒。

以傳播知識的書籍而言,十九世紀以前大部分是專家的論著,十九世紀時工藝學校式的講義卻風行一時。有趣的是,二十世紀輪到N. Bourbaki式硬綁綁的「定義-定理-引理」的書籍流行起來。

以傳播知識的語言而言,十九世紀以前大部分使用拉丁文,十九世紀以後則使用各國的語言。這正好反映民族國家的興起。

四、Struik在《數學史》第367-269頁談到D. Hilbert(1862-1943年)在國際數學會提出的二十三個問題,揭開二十世紀數學的序幕。 7

其實,Struik如果能夠在最後一節討論 S. Lie(1842-1899年)、H. Poincare(1854-1912年)與 D. Hilbert 對二十世紀數學的影響,可能是篇很好的謝幕辭,並且讀者對二十世紀數學也會有一個初步但是比較完整的認識。

我不禁想要把這兩本書和另外兩本書作個比較。這兩本書是

F. Klien:《Development of mathematics in the 19th century》。

M. Kline :《Mathematical thought from ancient to modern times》。

同樣的,兩位作者都是學有專精的數學家。尤其是 F. Klein,他是十九世紀末期德國最重要的數學家之一 8

很明顯的,《史談》受了F. Klein很深的影響,《數學史》予M. Kline不少影響。

F. Klein 與 M. Kline 的書顯然都非常詳細-比較這四本書的頁數就可知道。可是我仍然較願推荐《史談》與《數學史》給一般讀者。

要完全欣賞《史談》可能需要具備複變函數論的知識。可是一般讀者(高中程度以上)如果在某些地方不求甚解的話,他仍然可以從《史談》得到許多益處,許多啟發。高木貞治的筆觸是非常輕快的,他講的故事又那麼有趣,我相信,即使是不喜歡數學的人都會欣賞高木貞治這本書。

但要看得懂 F. Klein 的書,保守的估計,至少要受完大學四年數學系的訓練。此外,還要有耐心,否則會半途而廢。F. Klein 的書幾乎是把十九世紀主要的數學流派的來龍去脈交代得清清楚楚。有不少地方,例如代數曲線的分類,讀者可能無法卒讀。不過我非常鼓勵數學系的學生好好的看 F. Klein 這本書。憑良心說,大學四年的訓練實在相當有限,F. Klein 這本書可以使你大開眼界。

《數學史》是一本完整的歷史。高中程度以上的任何人都可以看,至少會增廣你的見聞。話雖這麼講,讀者如果沒有相當的數學訓練,許多數學名詞(如 Three body problem, ideal factors, biquadratic residues) 對他有什麼意義?他對這些數學家如何能產生親切感?我的經驗是,只要具備微積分的基礎應該可以不太費力的看到「十八世紀」,並且會有不少收穫。至於最後一章「十九世紀」如果能找人解釋一些基本的概念,相信對於讀者會有很大的幫助。我推荐這本書給一般讀者(高中程度以上),它提供你一個完整的數學史的輪廓,它不強調天才或某些數學家怪誕的行為,它告訴你:數學是人類社會活動的產物。

M. Kline 的書簡直是一本百科全書。正因為它太詳盡了,一般讀者可能會抓不到重點。如果讀者對數學史已經有一個通盤的瞭解,這倒是一本非常方便的參考書。例如,假使你想知道射影幾何 (projective geometry) 發展的經過,這奡N有一章專門討論射影幾何。數學老師如果想查一些比較詳盡的數學史的資料,M. Kline 的書可能是非常適合的。

寫數學史的作者通常會碰到一個兩難的境地:怎樣寫數學呢?你是把 Ideal factor 當做一個不加解釋的名詞,擺在那媗讀者自已去揣摩呢,還是從 Fermat 問題開始,討論因子分解的唯一性,再介紹 E.E. Kummer(1810-1893年)如何提出 Ideal factors 的概念呢?Struik 採取第一個做法,不做太深入的解釋。高木貞治、F. Klein、M. Kline 差不多是採取第二個做法。採取第二個做法時,如果講解得不夠透徹,不懂的讀者還是不懂-可能會更沮喪。這也是這三本書不太容易看的一個原因。在這一點,《史談》處理得最成功,一方面可能是高木貞治在這方面下過功夫,另一面是《史談》的篇幅最短,在讀者的興趣還沒有完全被耗盡之前,他已經看完這本書了。

   

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編輯:鄧惠文 最後修改日期:4/26/2002