吳定遠

甲、勒襄特的演譯證明 乙、高斯的實驗證明

歐氏平面幾何中有一個定理：「三角形內角之和等於180度」；這個定理是根據平行公設演繹出來的，平行公設是說：「過不在一已給直線上的任何一點，能作而且僅能作一條直線平行於該已給直線」。倒過來，如果我們先假定內角和定理為真，那末我們也可以根據它來證明平行公設為真。所以，這兩個陳述──平行公設及內角和定理──在邏輯上是等值的 (equivalent)。

關於內角和定理的證明，可以分演繹的證明與實驗的證明兩方面來敘述，這些證明在數學上和哲學上都具有很重大的意義。

甲、勒襄特的演譯證明

在非歐幾何學尚未創立以前，兩千多年中，許多偉大的數學家，都曾經試圖直接運用歐氏幾何中的其他公理來證明平行公設，而遭到完全的失敗；於是他們又試圖改以平行公設以外的其他公設來證明內角和定理，企圖間接證明平行公設。在他們這些證明中，以勒襄特（Legendre, 1752∼1833）的證明最為典型；而且他的證明方法非常簡明易懂，凡讀過高中平面幾何的人都可以了解。

勒襄特方法在數學上稱為「間接證明」。他先假定三角形各角之和大於180度或小於180度，然後從這些假定導出矛盾的結論，可見三角形內角之和既不能大於也不能小於180度，所以必定等於180度。

現在我們將他的證明分兩部份來敘述，第一部份證明三角形內角和不能大於180度，第二部份證明三角形內角和不能小於180度。

(1)讓我們假定三角形 ABC（如圖一）各角之和等於 , 。

圖一

現在，我們在 AB 直線的延長線上（假設直線是可以無限延長的），作一連串與三角形ABC 全等的許多三角形，如圖一。連接這些三角形的頂點，於是我們得：

現在讓我們取一個充分大的整數 n，以使 n(AB-CD) 大於 ，亦即

因為 ，而 是 C 和 N 間折線 之長，所以我們可以將上面的不等式改寫如下:

(2) 現在讓我們假定一個已知三角形 ABC（如圖二）的各角之和是 。

命角 A 為銳角。我們在 BC 上作一個三角形 BCD 與 ABC 全等，於是在圖二中 AB=CD。讓我們畫一條直線通過點 D，交角 BAC 的兩邊於點 K 與 L。這樣就形成了四個三角形，在圖二中以羅馬數字 I, II, III, IV 表之。

圖二

三角形 I 與 II 的各角之和均分別為 ，而根據上述論證(1)的結果，三角形 III 與 IV 的各角之和均不能超過 180。讓我們將三角形 I,II,III,IV 中所有的角都加起來。我們得到的和應不超過

圖三

對三角形 AKL 施以同樣步驟，我們得到一個三角形 A K₁ L₁（如圖三），其各角之和不超過 ，同理，我們可以得到一個三角形 AK₂L₂，其各角之和不超過 ，如此這樣繼續下去。這個方法終將導致一個三角形，其各角之和為負值，因為 ,… 終必超過 180。

於是勒襄特說：「我們又得到一個矛盾的結論，所以三角形各角之和也不能小於 180。既然三角形各角之和不能 大於也不能小於 180，所以它必定是等於 180。如我們所知，歐幾里得的平行公設是可以由此而證明出來的。」

這個證明的第一部份是正確的。「三角形各角之和不能超過 180。」這個定理，不必用歐幾里得的平行公設證明，而且為後來創立非歐幾何學的關鍵。這個證明的第二部份卻是錯誤的。勒襄特曾經將他這個錯誤的證明，編入一本在十九世紀初期為歐洲各學校普遍採用的教科書中，直到有人指出來，他才將其刪去。

讀者最好暫時不要讀下去，試試看能不能找出錯誤來。

現在讓我們來揭穿這個秘密。這個論證的弱點就在於下述的話：「讓我們畫一條直線，通過點 D，交角 BAC 的兩邊於點 K 與 L …」。要決定一條直線，通過一個角內的二點並與其夾邊之一相交，這是沒有困難的;因為連接D點與這個邊上的任何點均可有一條直線。但是我們如何能夠確定，通過 D 點確有一條直線可以與角的兩邊相交?在非歐幾何學中就有通過角內一點僅能與夾邊之一相交的情形，可見具有上述性質的直線，其存在也必須根據平行公設才能證明出來。勒襄特的證明的第二部份顯示出來，如果我們能證明「通過角內任何一點均可作一條直線與角的兩邊相交」，那末我們也就可以證明平行公設。可見平行公設與剛才我們假定可以證明的陳述，在邏輯上是等值的，這真是很驚人的事實。

歐幾里得的平行公設，簡直就像一個具有孫悟空七十二變本領的魔術師，他有時令我們感到驚奇，有時又令我們如墜五里霧中，莫明其妙。