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.原載於數學傳播第二卷第四期 | ||
三角形內角之和=180°?
吳定遠 |
歐氏平面幾何中有一個定理:「三角形內角之和等於180度」;這個定理是根據平行公設演繹出來的,平行公設是說:「過不在一已給直線上的任何一點,能作而且僅能作一條直線平行於該已給直線」。倒過來,如果我們先假定內角和定理為真,那末我們也可以根據它來證明平行公設為真。所以,這兩個陳述──平行公設及內角和定理──在邏輯上是等值的 (equivalent)。 關於內角和定理的證明,可以分演繹的證明與實驗的證明兩方面來敘述,這些證明在數學上和哲學上都具有很重大的意義。
在非歐幾何學尚未創立以前,兩千多年中,許多偉大的數學家,都曾經試圖直接運用歐氏幾何中的其他公理來證明平行公設,而遭到完全的失敗;於是他們又試圖改以平行公設以外的其他公設來證明內角和定理,企圖間接證明平行公設。在他們這些證明中,以勒襄特(Legendre, 1752∼1833)的證明最為典型;而且他的證明方法非常簡明易懂,凡讀過高中平面幾何的人都可以了解。 勒襄特方法在數學上稱為「間接證明」。他先假定三角形各角之和大於180度或小於180度,然後從這些假定導出矛盾的結論,可見三角形內角之和既不能大於也不能小於180度,所以必定等於180度。 現在我們將他的證明分兩部份來敘述,第一部份證明三角形內角和不能大於180度,第二部份證明三角形內角和不能小於180度。
(1)讓我們假定三角形 ABC(如圖一)各角之和等於
現在,我們在 AB 直線的延長線上(假設直線是可以無限延長的),作一連串與三角形ABC 全等的許多三角形,如圖一。連接這些三角形的頂點,於是我們得:
![]() 但是 ![]() 於是 ![]() 另一方面 ![]() 將這個公式與上面的公式相比較,我們得 ![]() ![]() ![]()
AB>CD,
也就是說 AB-CD>0。
現在讓我們取一個充分大的整數 n,以使 n(AB-CD) 大於 ![]() 我們考慮 n 個依次相續像 ABC 的三角形,和 n 個依次相續像 BCD 的三角形(如圖一)。MN 是最後一個三角形的邊。
因為 ![]() 或 ![]() 於是從 A 至 M 的直線距離將較迂迴的曲折距離更長,這是不可能的;我們得到一個矛盾的結論,故三角形各內角之和不能大於 180 ![]() ![]()
(2)
現在讓我們假定一個已知三角形 ABC(如圖二)的各角之和是
命角 A 為銳角。我們在 BC 上作一個三角形 BCD 與 ABC 全等,於是在圖二中 AB=CD。讓我們畫一條直線通過點 D,交角 BAC 的兩邊於點 K 與 L。這樣就形成了四個三角形,在圖二中以羅馬數字 I, II, III, IV 表之。
三角形 I 與 II 的各角之和均分別為
![]() 這個和包括有角 A,K,L 及三個角 B,C,D 而這三個角均等於二直角,所以我們得 ![]() 於是知三角形 AKL 各角之和不超過 ![]()
對三角形 AKL 施以同樣步驟,我們得到一個三角形 A K1 L1(如圖三),其各角之和不超過
於是勒襄特說:「我們又得到一個矛盾的結論,所以三角形各角之和也不能小於 180
這個證明的第一部份是正確的。「三角形各角之和不能超過 180 讀者最好暫時不要讀下去,試試看能不能找出錯誤來。 現在讓我們來揭穿這個秘密。這個論證的弱點就在於下述的話:「讓我們畫一條直線,通過點 D,交角 BAC 的兩邊於點 K 與 L …」。要決定一條直線,通過一個角內的二點並與其夾邊之一相交,這是沒有困難的;因為連接D點與這個邊上的任何點均可有一條直線。但是我們如何能夠確定,通過 D 點確有一條直線可以與角的兩邊相交?在非歐幾何學中就有通過角內一點僅能與夾邊之一相交的情形,可見具有上述性質的直線,其存在也必須根據平行公設才能證明出來。勒襄特的證明的第二部份顯示出來,如果我們能證明「通過角內任何一點均可作一條直線與角的兩邊相交」,那末我們也就可以證明平行公設。可見平行公設與剛才我們假定可以證明的陳述,在邏輯上是等值的,這真是很驚人的事實。 歐幾里得的平行公設,簡直就像一個具有孫悟空七十二變本領的魔術師,他有時令我們感到驚奇,有時又令我們如墜五里霧中,莫明其妙。
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編輯:鄧惠文 | 最後修改日期:5/2/2002 |