微積分與差和分大意 (第 3 頁)

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微積分與差和分大意
連續與離散之間的類推（第 3 頁）

蔡聰明

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．原載於數學傳播第二卷第二期
．作者當時任教於台大數學系
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三、微分與積分

(甲)微分

給一個函數 f，若牛頓商（或差分商） $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ 的極限 $\lim_{x \rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ 存在，則我們就稱此極限值為 f 為點 x₀ 的導數，記為 f'(x₀) 或 Df(x)，亦即

$\begin{displaymath}f'(x_0)=\lim_{x \rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\end{displaymath}$

若 f 在定義區域上每一點導數都存在，則稱 f 為可導微函數。我們稱 $Df:x \rightarrow Df(x)$ 為 f 的導函數，而 $D:f\rightarrow Df$ 叫做微分算子。

微分算子的性質：

: (i) $\left. \begin{eqalign} & D(f+g)=Df + Dg \quad (\mbox{{\fontfamily{cwM0}\fontse... ...{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 52}}) \end{eqalign}\right \}$ [合稱線性]
: (ii) $Df=0 \Rightarrow f\equiv c$ (常數) [差分方程根本定理]
: (iii) Dxⁿ=nx^n-1
: (iv) De^x=e^x
: (iv)' 一般的指數數列 a^x 之導函數為 $a^x \log a$

(乙)積分.

設 f 為定義在 [a,b] 上的函數，積分的問題就是要算圖甲陰影的面積。我們的辦法是對 [a,b] 作分割：

$a=x_0<x_1< \cdots <x_n=b$ ；其次對每一小段 [x_i-1,x_i] 取一個樣本點 $\xi_i\in[x_{i-1},x_i]$ ；再求近似和 $\sum^n_{i=1}f(\xi_i)(x_i-x_{i-1})$ （見圖乙）；最後再取極限

$\begin{displaymath}\lim \sum^n_{i=1}f(\xi_i)(x_i-x_{i-1})\end{displaymath}$

（讓每一小段的長度都趨近於 0）。

若這個極限值存在,我們就記為 $\int^b_a f$ 的幾何意義就是圖甲陰影的面積。

（事實上，連續性也「差不多」是積分存在的必要條件。）

圖甲

圖乙

積分算子也具有線性的性質：
$\left\{ \begin{eqalign} & \int^b_a(f+g)=\int^b_a f +\int^b_a g(\mbox{{\fontfam... ...t{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 52}}) \end{eqalign}\right .$

定理2 若 f 為一連續函數，則 $\int^b_a f$ 存在。（事實上，連續性也「差不多」是積分存在的必要條件。）

定理3 (微積分根本定理) 設 f 為定義在閉區間 [a,b] 上的連續函數，我們欲求積分 $\int^b_a f$ 如果我們可以找到另一個函數 g，使得 g'=f，則

$\begin{displaymath} \int^b_a f=g \big\vert^a_b = g(b)-g(a) \eqno{(2)} \end{displaymath}$

註:(1)(2)兩式雖是類推，但有一點點差異，即和分的上限要很小心！

上面定理1及定理3基本上都表述著差分與和分，微分與積分，是兩個互逆的操作，就好像加法與減法，乘法與除法是互逆的操作一樣。

我們都知道差分與微分的操作比和分與積分簡單多了，而上面定理1及定理3告訴我們，要計算 (u_n) 的和分及 f 的積分，只要去找另一個 (v_n) 及 g 滿足 $u_n=\triangle v_n$ ， g'=f （這是差分及微分的問題），那麼對 v_n 及 g 代入上下限就得到答案了。換句話說，我們可以用較簡單的差分及微分操作來掌握較難的和分及積分操作，這就是"以簡御繁"的精神。牛頓與萊布尼慈對微積分最大的貢獻就在此。

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編輯：洪瑛 ∕ 校對：黃信元 ∕ 繪圖：簡立欣

最後修改日期：5/6/2002