微積分與差和分大意 (第 2 頁)

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微積分與差和分大意
連續與離散之間的類推（第 2 頁）

蔡聰明

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．原載於數學傳播第二卷第二期
．作者當時任教於台大數學系
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二、差分與和分

(甲)差分.

考慮一個離散函數（即數列） $u:N\rightarrow$ R，它在 n 所取的值 u(n) 記成 u_n，通常我們就把這個函數書成 $u=(u_n)_{n \in N}$ 或 (u_n)。數列 u 的差分 $\triangle u$ 還是一個數列，它在 n 所取的值以定義為

$\begin{displaymath}(\triangle u)_n \equiv u_{n+1}-u_n\end{displaymath}$

以後我們乾脆就把 $(\triangle u)_n$ 簡記為 $\triangle u_n$

: (例)：數列 1, 4, 8, 7, 6, -2, ... 的差分數列為 3, 4, -1, -1, -8 ...
: 註：我們說「數列」是「定義在離散點上的函數」如果在高中，這樣的說法就很惡劣。但在此地，卻很恰當，因為這樣才跟連續型的函數具有完全平行的類推。

差分算子的性質

(i) $\left. \begin{eqalign} & \triangle(u_n+v_n) = \triangle u_n +\triangle v_n \qu... ...t{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 52}}) \end{eqalign}\right\}$ [合稱線性]

(ii) $\triangle u_n=0 \Rightarrow u_n\equiv c$ (常數) [差分方程根本定理]

(iii) $\triangle n^{(k)}=kn^{(k-1)}$

其中 $n^{(k)} \equiv n(n-1) \cdots (n-k+1)$ ，而 (n^(k) 叫做排列數列。

(iv) $\triangle 2^n=2^n ,(2^n)$ 叫做自然等比數列。

(iv)' 一般的指數數列（幾何數列）rⁿ 之差分數列（即「導函數」）為 rⁿ(r-1)

(乙).和分

給一個數列 (u_n)。和分的問題就是要算和 $\sum_{i=l}^m u_i$ 。

怎麼算呢？我們有下面重要的結果：

定理1 (差和分根本定理) 如果我們能夠找到一個數列 (v_n)，使得 $u_n=\triangle v_n$ ，則

$\begin{displaymath} \sum^{m-1}_{t=l}u_i=v_i \big\vert^{i=m}_{i=l}=v_m-v_l \eqno{(1)} \end{displaymath}$

和分也具有線性的性質：

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{eqalign} & \sum (u+v) = \sum u + \sum v \\ & \sum \alpha u = \alpha \sum u \end{eqalign}\right. \end{displaymath}$

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編輯：洪瑛 ∕ 校對：黃信元 ∕ 繪圖：簡立欣

最後修改日期：5/6/2002