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數學的理論與實用 (第 2 頁)

黃武雄

 

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.原載於數學傳播第一卷第三期
.作者當時任教於台灣大學數學系
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理論就是不實際?

數學主流的理論,沒有一樣是空穴來風,沒有一樣是一批偏窄數學家們閉門造車的產物。每一支每一節都起源於一些問題,一些取諸自然引自社會的活生生的問題。當一堆同一類型的問題接二連三反覆出現,數學就逐漸建立一套足以處理這一類問題的普通方法。為要保證普通方法的有效與正確,常需輔以適當的論據,這種有了可靠論據的數學方法,便構成數學理論。 由於它所要處理的對象,不祇是某一特殊的實際問題,它的表達便須具有相當範圍的普遍性。也就是說,它的理論看起來便要「抽象」。然後社會在進步,亟待解決的實際問題日益增多,根據各種問題的類型所製作的各套方法,名目漸繁。於是又須整理出來更普遍的方法用以概括原來的各套方法,這樣纍次築積,築積愈久,數學的理論便愈形抽象,其面目也愈形可憎

假設數學理論取諸實際還諸實際的過程,每幾年就能完成一個循環,那麼人人都可以明白數學家在做些什麼,而每一位數學家,包括那些書呆子,也都可以明白自己在做些什麼。這時自然不會產生理論與實用之爭。「數學實用化」也就早被兌現。

但事實並不是這樣,幾次數學家要整理出一套安全有用的普通方法,都費時幾十年甚或幾個世紀。並匯集很多數學家的心力,經一點一滴累積下來,才跨出一個腳步。就是這段累積心力的過程中,很多人看不到前面實際問題的起源,也看不到後邊還給自然的反饋。以為所做的工作只為數學而數學。就因這樣,理論數學才有 「純粹數學之譏」,而恃以對「實用數學」分庭抗體。

事實上,理論數學的發展是為了應用,只是它的應用是「長遠應用」而一般的實用數學則為「立即應用」。「理論」與「應用」像左右兩腳交替踩著走路。今天的應用以昨天的理論為基礎。明天又有了理論來澄釋今天的應用,又推廣了今天的應用。

牛頓為了在力學上的應用,取了函數的微分,當時的數學理論無法支持他取牛頓商的極限作為速度。這個力學上的實際問題刺激了數學局部化理論體系的發展,許多人不能了解這事,卻因此譏嘲數學理論不管用,總遲遲來在物理應用之後,沒想到就是有二項展開與解析幾何成熟的理論數學在撐腰,牛頓才能從刻卜勒觀察計算出萬有引力定律,才能做出微積分!

同樣,廿世紀初笛拉克 (Dirac),將 δ 函數應用之初,數學的超函數論還沒有影子。δ 函數本身都不是正規數學所容忍的函數,理論數學在這階段又備受挖苦。固然超函數論因 δ 函數而發展,但 δ 函數的發展卻建立於當時已經健全了的積分理論!

再以具體的例子來說明數學「理論」與 「應用」的關係。一個學工程或經濟的人,面對一道他的專業所關心的微分方程式,他只須用盡一切辦法甚或不計代價(例如餵到電算機中,吃掉很多錢),去猜或去找出這道方程式的解,他要的是「立時應用」。但在一個數學家的立場,當實際問題出現過幾次類似的微分方程式之後,他便有義務將這些微分方程加以普遍化,尋求簡潔而共通的方法。經這樣整理得到的理論,為的是長遠打算。以後誰在實際問題中碰到與這樣類似的微分方程,便可從數學家整理出來的理論 「內容」中,拿出來套用。縱若條件不盡適合,不能直接套用,其原有理論中所提供的「方法」,也可作為借鏡,拿來尋求解決新問題的方法與答案。所以說:「理論數學」是長遠應用,又說 「理論」是 「應用」的基礎。看不到這些事實才會冒然咬定「理論」就是「不實際」。

當一個健全的數學家致力於抽取同類問題的特徵,將各套方法普遍化之時,一般人很容易以為他的工作與實際脫節。要他的方法普遍有效,又要他工作的每一點滴都生動而實用,這是歷來數學家排不開的困窘。不是他在抗拒實用,是他有著本質上的困難。

我們不能否認在數學實用的方向上,某些特殊時代曾出現過偏差,某些數學家個人曾認識不清而在 「為數學而數學」的象牙塔堸g失。我們不能贊同某些數學家為要持續自己的迷失,所叫出的托詞:「今天這些數學理論,誰能擔保那天不會變成有用?」

但當我們努力在提倡數學實用化的時候,要十分明白數學特有的本質,明白理論數學所具長遠應用的深意。若是只因理論數學不作立即應用,便貶低理論數學的地位,我們將離根離枝,像四處飄盪的葉子,失去營養,而靜待死亡。

   

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編輯:鄧惠文 最後修改日期:5/26/2002