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．原載於數學傳播第一卷第一期
．作者當時任教於台大數學系;台北市市立中正高中

•註釋
 

投幣打賭與大數法則

姚景星;林聰勤

 
 


一、投幣打賭

現在我投一個自造的硬幣來賭輸贏，如果出現正面的話，我就給你 10 元，要是反面的話，你就要給我 2 元，（假設除了正、反兩面以外，不會有其他情況發生），這樣你是不是願意接受打賭呢？在這個問題裏頭，要是硬幣的兩面都是均勻的，那麼正反兩面出現的機會應該一樣才對（我們把這種硬幣叫做公正的硬幣），也就是兩面出現的機率都各是 $\frac{1}{2}$，當然這並不表示每投兩次就必有一次正面及一次反面，也不表示「如果第一次是正面的話，那麼第二次就必定是反面的」，其實「正反兩面出現的機率都各是 $\frac{1}{2}$」的真正含意是說： 假設我們已賭了 l 次，而 l 很大很大，（譬如 l=1000），那麼我們就會發覺出現正面的次數 m 是約略等於 $\frac{l}{2}$ 的，而反面的次數 n=l-m 也約略是等於 $\frac{l}{2}$，（你不妨實際試試看）。像這樣，你如果賭 l 次下來，你輸贏的總和就等於 s = 10 x m + (-2) x n $ \doteq 10 \times (\frac{l}{2})-2 \times (\frac{l}{2}) = 4l$（元），因此平均每次你就可贏得期望值 $ E=\frac{s}{l} \doteq \frac{4l}{l} = 4$（元），或

\begin{displaymath} E=\frac{s}{l}=10\cdot(\frac{m}{l})+(-2)\cdot(\frac{n}{l})\doteq 10\cdot\frac{1}{2}-2\cdot\frac{1}{2} =4 \end{displaymath}

以上的計算也可用隨機變數的概念來表達，（就本例來看，隨機變數在這裏並不能表現出它的方便或功效，但在其他較複雜的場合裏，就必須要用隨機變數的概念（或符號）才能表達得清楚）設隨機變數 X 表示每次賭博所得，則投出正面時 X=10，其機率表為 $P(X=10)=\frac{1}{2}$，反面時 X=-2，其機率表為 $P(X=-2)=\frac{1}{2}$，於是 X 的期望值

\begin{eqnarray*} E(X)&=&10\cdot P(X=10)+(-2)\cdot P(X=-2)\\ &=&10\cdot\frac{1}... ...\mbox{({\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \char 106}),} \end{eqnarray*}


這樣子的賭法對你是很合算的！

但你該曉得這種如意算盤是建立在「公正」的假設上的。要是我把硬幣造得不均勻對稱，使反面出現率 q 遠比正面出現率 p 來得大，（譬如正面造得重一點，或在形狀上，結構上做一些手腳，這都是有可能的），這時候的情況是不是還對你有利呢？譬如使正面的出現率為 $p=P(X=10) = \frac{1}{20}$，那麼你平均每次所得的錢就會等於

\begin{eqnarray*} E(X) &=& 10\cdot P(X=10)+(-2)\cdot P(X=-2)\\ &=& 10\cdot\fra... ...\mbox{({\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \char 106})}, \end{eqnarray*}


也就是每次你要輸掉 1.4 元，要是賭得豪華一點的話，譬如作 10 萬元對一2萬元的打賭，那麼平均每次你就要輸掉 1.4 萬元，不消多久你就非破產不可了。但是，要是正面的出現率 p 大一點的話，譬如 $p=\frac{1}{5}$，這時候雖然還是比反面的出現率 $q=\frac{4}{5}$ 小得多，但

\begin{displaymath} E(X)=10\cdot\frac{1}{5}-2\cdot\frac{4}{5}=\frac{2}{5} \; \mbox{({\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \char 106})}, \end{displaymath}

你還是可以佔到便宜。因此要曉得這種賭博對你是不是合算，一定要先確知正面的出現率 p 才行。那你怎樣才能求知硬幣正面的出現率 p 呢？其實任何一個硬幣，它各面的出現率早已固定了，只是我們一時還不曉得而已。打賭的問題實際上就是決定 p 值的問題，下面我們來說一下。

 
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編輯：黃信元 最後修改日期：4/26/2002