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《基礎幾何學》

八、圓錐截線的故事 (第 5 頁)

項武義

 

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.作者任教於香港科技大學數學系

註釋
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五點定一「二次曲線」和六點共在一「二次曲線」的條件

在初等幾何中有兩個熟知的事實,即兩點定一直線和不共線三點定一圓。若改用解析觀點來看,上述幾何事實與直線和圓的方程式中系數比的個數是密切相對應的。亦即

直線方程:$ Ax+By+C=0 \;$

中具有兩個相互獨立的系數比 {A:B, A:C}

圓方程: $ A(x^2+y^2)+2Dx+2Ey+F=0 \;$

中具有三個相互獨立的系數比 {A:D,A:E,A:F} 。再者,運用線性方程組的基礎理論,我們還可以用行列式直接寫下三點共線和四點共圓的坐標條件式,即

Pi(xi,yi), $1\leq i\leq 3$, 三點共線的條件是

\begin{displaymath}
\left\vert \matrix{
x_1 & y_1 & 1 \cr
x_2 & y_2 & 1 \cr
x_3 & y_3 & 1 \cr
} \right\vert =0
\end{displaymath}

Pi(xi,yi), $1\leq i\leq 4$, 四點共圓的條件是

\begin{displaymath}
\left\vert
\matrix{
x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \cr
x_2^2+...
...y_3 & 1 \cr
x_4^2+y_4^2 & x_4 & y_4 & 1 \cr }
\right\vert = 0
\end{displaymath}

同樣理由,我們也有下述六點 $\{P_i(x_i,y_i),\, 1\leq i\leq 6\}$ 共在一個二次曲線上的代數條件是

\begin{displaymath}
\left\vert
\matrix{
x_1^2 & x_1y_1 & y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 ...
...r
x_6^2 & x_6y_6 & y_6^2 & x_6 & y_6 & 1 \cr }
\right\vert =0
\end{displaymath}

因為它就是存在有不全為零的系數組 {A,B,C,D,E,F} 使得

\begin{displaymath}Ax_i^2 +Bx_iy_i+Cy_i^2 +Dx_i+Ey_i+F=0,\quad 1\leq i\leq 6 \end{displaymath}

的充要條件。假如我們把 $\{(x_i,y_i),\, 1\leq i\leq 5\}$ 想成是取定者,而把 (x6,y6) 想成是變動者,而且改用符號 (x,y),則上述六階行列式也就是過 $\{P_i(x_i,y_i), \, 1\leq i\leq 5\}$ 這五點的唯一二次曲線的方程式。這也就是「五點定一二次曲線」的代數表述。

   

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最後修改日期:6/19/2004