八、圓錐截線的故事 (第 3 頁)

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《基礎幾何學》

八、圓錐截線的故事（第 3 頁）

項武義

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．作者任教於香港科技大學數學系

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圓錐截線和二次曲線

到了十七世紀，幾何學的研究方法出現了革命性的突破，那就是笛卡兒 (Descartes)、費瑪 (Fermat) 所創導的解析幾何學。而這種新方法的牛刀小試就自然是把這種新引進的坐標解析法用來研討圓錐截線的幾何，以期能夠溫故知新。首先，我們要來看一看一個圓錐截線的方程式究竟為何？

$\begin{displaymath} \begin{xy} \xyimport(5,5){\epsfxsize =8cm \epsfbox{fig0809.e... ...y,z) \\ \overrightarrow{OA} &=& (a,b,c) \end{array}} \end{xy}\end{displaymath}$

[ 圖 8-9 ]

$\begin{displaymath}\overrightarrow{OX}\cdot \overrightarrow{OA}=\big\vert \overr... ...nt \cH6}\z{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \cH31})} \end{displaymath}$

亦即 $(ax+by+cz)^2=(x^2+y^2+z^2)(a^2+b^2+c^2)\cos^2\theta$ .

由此可見上述圓錐和 z=k 的交截的方程式就是：

$\begin{displaymath}(ax+by+ck)^2=(x^2+y^2+k^2)(a^2+b^2+c^2)\cos^2\theta\end{displaymath}$

總之，上述直截了當的計算說明了任何一個圓錐截線的方程式都是一個二元二次方程式，其一般形式可以寫成

Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F=0 /;

概括地來說，所有圓錐截線都是二次曲線。很自然地我們會反問，是否任何二次曲線也都是圓錐截線呢？

為了要解答上述逆問題，就自然地會認識到下面這種「坐標變換不變量」的基本思想。

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最後修改日期：6/19/2004