八、圓錐截線的故事 (第 9 頁)

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《基礎幾何學》

八、圓錐截線的故事（第 9 頁）

項武義

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．作者任教於香港科技大學數學系

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圓錐截線例題，極與極線

【例一】：圓錐截線方程的矩陣表達式：在中我們用到以矩陣來表達圓錐截線的方程式

$\begin{displaymath}\Gamma:\; Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0\end{displaymath}$

若引入矩陣記號

$\begin{displaymath} M= \pmatrix{ A & B & D \cr B & C & E \cr D & E & F \cr }, \quad {\bf u} = \pmatrix{ x \cr y \cr 1 \cr } \end{displaymath}$

則 Γ 的方程可簡潔地重新寫成下面模式：

$\begin{displaymath} \Gamma:\, {\bf u}^T M {\bf u} = \pmatrix{ x & y & 1 \cr } \p... ... & E \cr D & E & F \cr } \pmatrix{ x \cr y \cr 1 \cr } = 0 \end{displaymath}$

其中 ${\bf u}^T$ 表示把矩陣的行列互相轉置 (transpose)，這個運算滿足下述簡單公式：

設 A, B 為適當大小的矩陣，則 $(A\cdot B)^T=B^T\cdot A^T$

【例二】：圓錐截線切線方程：令 $\Gamma:\, Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0$ 為一圓錐截線，P₁(x₁,y₁) 為 Γ 上任意的一點。在初等解析幾何中我們熟知過 P₁ 點的切線方程可以寫成

$\begin{displaymath}L_1: Ax_1x+2B\big(\frac{x_1y+y_1x}{2}\big)+Cy_1y + 2D\big(\frac{x+x_1}{2}\big)+2E\big(\frac{y+y_1}{2}\big)+F =0\end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \xy \xyimport(5,5){\epsfxsize=5cm \epsfbox{fig0828.eps}}*\fr... ...1)} ,(-0.25,2.5)*+{L_1} ,(1,1.4)*+{\Gamma} \endxy\hspace*{1cm} \end{displaymath}$

[ 圖 8-28 ]

這個公式的証明一般來說需要用到較為繁複的驗算。現在我們嘗試改用矩陣表達式和矩陣運算，把其驗算過程大大的簡化如下：

証明：不妨假設 Γ 是非蛻化的情況。若改用矩陣表達式，則 Γ 和 L₁ 可以分別寫成

$\begin{displaymath}\Gamma:\, {\bf u}^TM{\bf u}=0, \quad L_1:\, {\bf u}_1^TM{\bf u}=0\end{displaymath}$

其中 ${\bf u}_1^T=\big( \begin{array}{ccccc} x_1&&y_1&&1 \end{array}\big)$ 。若 Γ 與 L₁ 只交于 P₁ 這一點，則 L₁ 即為 Γ 在 P₁ 點的切線；假若不然，即 Γ 與 L₁ 至少交于 P₁ 和 P₂ 兩點：

$\begin{displaymath}P_1(x_1,y_1):{\bf u}_1 =\left( \begin{array}{c}x_1 \\ y_1 \\ ... ... =\left( \begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \\ 1 \end{array} \right) \end{displaymath}$

首先，由所設 P₁, P₂ 在 Γ 之上，即有

$\begin{displaymath}{\bf u}_1^TM{\bf u}_1 =0\quad \mbox{{\SaOu\cH163}} \quad {\bf u}_2^TM{\bf u}_2 =0 \end{displaymath}$

再者，我們也假設了 P₂ 在 L₁ 之上，即 ${\bf u}_1^TM{\bf u}_2=0$ 。

現于直線 L₁=P₁P₂ 上任取一點 P，則可選取適當的實數 λ 使得 $P=(\lambda x_1+(1-\lambda) x_2, \lambda y_1+(1-\lambda) y_2)$ 。考慮 P 點的矩陣表達式： ${\bf v}=\lambda {\bf u}_1+(1-\lambda){\bf u_2}$ ，則有

$\begin{eqnarray*} &&{\bf v}^T M {\bf v} \\ &=& (\lambda{\bf u}_1+(1-\lambda){\b... ... u}_2^TM{\bf u}_1 + (1-\lambda)^2 {\bf u}_2^TM{\bf u}_2 \\ &=&0 \end{eqnarray*}$

所以 P 點也同時在 Γ 之上，亦即 Γ 已包含整條直線 L₁，這自然是和 Γ 是非蛻化的假設互相矛盾。由此可見，Γ 與 L₁ 只可能交于 P₁ 這一點，亦即 L₁ 乃是 Γ 在 P₁ 的切線。

【例三】：當 $P_1\in \Gamma$ 時，已知 $L_1:\,{\bf u}_1^TM{\bf u}=0$ 乃是 Γ 在 P₁ 的切線；但若 P₁ 不在 Γ 之上（如 [圖 8-29] 所示）時，L₁ 應該代表著什麼呢？

$\begin{displaymath} \xy \xyimport(5,5){\epsfxsize=5cm \epsfbox{fig0829.eps}}*\fr... ....4)*+{P_1(x_1,y_1)} ,(4.6,1.3)*+{\Gamma} ,(2,0.2)*+{L_1} \endxy\end{displaymath}$

[ 圖 8-29 ]

[解答] L₁ 乃是由 P₁ 到 Γ 的兩條切線 L₂, L₃ 的切點 P₂, P₃ 所定的那條直線，如 [圖 8-30] 所示。

$\begin{displaymath} \xy \xyimport(5,5){\epsfxsize=5cm \epsfbox{fig0830.eps}}*\fr... ....7)*+{P_3(x_3,y_3)} ,(4.75,3.9)*+{L_2} ,(3.9,0.5)*+{L_3} \endxy\end{displaymath}$

[ 圖 8-30 ]

証明：由前面的結果已知 L₂ 和 L₃ 的方程分別是

$\begin{displaymath}L_2:\, {\bf u}_2^TM{\bf u}=0, \quad L_3:\, {\bf u}_3^TM{\bf u}=0\end{displaymath}$

再者，由于兩者都過 P₁(x₁,y₁) 點，即

$\begin{displaymath}{\bf u}_2^TM{\bf u}_1=0 \quad \mbox{{\SaOu\cH163}} \quad {\bf u}_3^TM{\bf u}_1=0\end{displaymath}$

經轉置 (transpose) 後即有

$\begin{displaymath}{\bf u}_1^TM{\bf u}_2=0 \quad \mbox{{\SaOu\cH163}} \quad {\bf u}_1^TM{\bf u}_3=0\end{displaymath}$

這就是說 P₂, P₃ 在 $L_1:\,{\bf u}_1^TM{\bf u}=0$ 之上。

【例四】：其實 [圖 8-29] 並不是 $P_1\notin \Gamma$ 的唯一情況，我們還須考慮如 [圖 8-31] 的情況，即 P₁(x₁,y₁) 在 Γ 之內：

$\begin{displaymath} \xy \xyimport(5,5){\epsfxsize=5cm \epsfbox{fig0831.eps}}*\fr... ...+{L_1} ,(4.85,0.85)*+{\Gamma} ,(2.5,1.8)*+{P_1(x_1,y_1)} \endxy\end{displaymath}$

[ 圖 8-31 ]

[解答] L₁ 乃是由過 P₁ 點的弦（如 [圖 8-32] 所示的 L₂, L₃ 等），其兩端點切線的交點（如 P₂, P₃ 等）所組成的點集。

$\begin{displaymath} \xy \xyimport(5,5){\epsfxsize=5cm \epsfbox{fig0832.eps}}*\fr... ...2)} ,(3.65,4.75)*+{L_2} ,(3.45,0.4)*+{L_3} \endxy\hspace*{1cm} \end{displaymath}$

[ 圖 8-32 ]

証明：由前面的討論已知：

$\begin{eqnarray*} L_2 \mbox{ {\SbOu\cH237}\z{\SbOu\cH106}\z{\ScOu\cH6}\z{\SbOu\c... ...Ou\cH106}\z{\ScOu\cH6}\z{\SbOu\cH117}} &:& {\bf u}_3^TM{\bf u}=0 \end{eqnarray*}$

由于 L₂, L₃ 都是過 P₁ 點的弦，即

$\begin{displaymath}{\bf u}_2^TM{\bf u}_1=0 \quad \mbox{{\SaOu\cH163}} \quad {\bf u}_3^TM{\bf u}_1=0\end{displaymath}$

亦即 ${\bf u}_1^TM{\bf u}_2=0$ 及 ${\bf u}_1^TM{\bf u}_3=0$ 。所以 P₂, P₃ 皆在 L₁ 之上。

[註]：由上面的例子我們可以看出 P 和 L 的密切（對偶）關係：給出 P 點，我們可以如前述例子般構作對應的 L；反之，給出直線 L，我們也可以把上面的程序倒過來構作 P 。在射影幾何中，P 與 L 分別稱為「極 (pole)」與「極線 (polar)」。

【例五】：Pascal 定理的純代數証明：在中，我們運用了幾何透視對應方法來証明 Pascal 定理，即在一個圓錐截線 Γ 上任取六點 {A₁,A₂,A₃; B₁,B₂,B₃}，如 [圖 8-11] 所示，令 $P={A_1B_2}\cap {A_2B_1}$ , $Q={A_1B_3}\cap {A_3B_1}$ , $R={A_2B_3}\cap {A_3B_2}$ ，則恆有 {P,Q,R} 三點共線。

$\begin{displaymath} \begin{xy} \xyimport(5,5){\epsfxsize =5cm \epsfbox{fig0811.e... ...,2.42)*+{\scriptstyle Q} ,(3.29,2.5)*+{\scriptstyle R} \end{xy}\end{displaymath}$

[ 圖 8-11 ]

現在我們改用純代數的方法來再次証明這個定理。這樣做的好處一來是反映出代數理論在幾何學上的不平凡應用；二來這種做法亦提供了一種途徑來研究高維、高次的代數曲線。設

$\begin{displaymath} \begin{array}{lp{5pt}l} A_1B_2: \ell_1=0,&& A_2B_1: \ell_1'=... ...ell_2'=0 \\ A_3B_1: \ell_3=0, && A_1B_3: \ell_3'=0 \end{array}\end{displaymath}$

令 $F(k):\,\ell_1\cdot\ell_2\cdot\ell_3 +k\cdot\ell_1'\cdot\ell_2'\cdot\ell_3'=0$ ，則易見對于任給的實數 k，A₁, A₂, A₃, B₁, B₂, B₃ 這六點必然在三次曲線 F(k) 之上，而且 F(k) 也包含了 P, Q, R 這三點。不妨假設 Γ 為非蛻化圓錐截線。現于 Γ 上取第七點 S （但不在已給的六點組 {A₁,A₂,A₃; B₁,B₂,B₃} 之內），然後選取適當的 k=k₀ 使得 S 同時也在 F(k₀) 之上，亦即 Γ 與 F(k₀) 相交于至少七點：

$\begin{displaymath}A_1,A_2,A_3, B_1,B_2,B_3,S\in \Gamma\cap F(k_0)\end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \begin{xy} \xyimport(5,5){\epsfxsize =5cm \epsfbox{fig0833.e... ...tstyle Q} ,(3.29,2.5)*+{\scriptstyle R} \end{xy} \hspace*{1em} \end{displaymath}$

[ 圖 8-33 ]

因為 Γ 是一個非蛻化的二次曲線，F(k₀) 是一個三次曲線，一般來說它們最多只有六個交點，除非 Γ 本身就是 F(k₀) 的一個因式。由于我們的構作使它們兩者至少有七個交點，因此 Γ 必然可以整除 F(k₀)，即

$\begin{displaymath}F(k_0):\,(Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F)\cdot (Lx+My+N)=0\end{displaymath}$

顯然 P, Q, R 均不在 Γ 之上，所以它們必然全都在直線 Lx+My+N=0 之上，Pascal 定理証畢。

當 k 由 k=0 漸漸趨向 k=k₀，F(k) 的變化就如 [圖 8-34] 所示：

$\begin{displaymath} \begin{xy} \xyimport(5,5){\epsfxsize =4.3cm \epsfbox{fig0834a.eps}}*\frm{} \end{xy}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \begin{xy} \xyimport(5,5){\epsfxsize =4.3cm \epsfbox{fig0834b.eps}}*\frm{} \end{xy}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \begin{xy} \xyimport(5,5){\epsfxsize =4.3cm \epsfbox{fig0834c.eps}}*\frm{} \end{xy}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \begin{xy} \xyimport(5,5){\epsfxsize =4.3cm \epsfbox{fig0834d.eps}}*\frm{} \end{xy}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \begin{xy} \xyimport(5,5){\epsfxsize =4.3cm \epsfbox{fig0834e.eps}}*\frm{} \end{xy}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \begin{xy} \xyimport(5,5){\epsfxsize =4.3cm \epsfbox{fig0834f.eps}}*\frm{} \end{xy}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \begin{xy} \xyimport(5,5){\epsfxsize =4.3cm \epsfbox{fig0834g.eps}}*\frm{} \end{xy}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \begin{xy} \xyimport(5,5){\epsfxsize =4.3cm \epsfbox{fig0834h.eps}}*\frm{} \end{xy}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \begin{xy} \xyimport(5,5){\epsfxsize =4.3cm \epsfbox{fig0834i.eps}}*\frm{} \end{xy}\end{displaymath}$

[ 圖 8-34 ]

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最後修改日期：6/19/2004