向量微積分

Vector Calculus

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微積分基本定理

$\begin{displaymath}\int_a^b f'(x)dx=f(b)-f(a)\end{displaymath}$

可以推廣到高維的空間，其中包括了三個著名的定理，即平面上的

Green 氏定理

$\begin{displaymath}\int_D \mbox{curl}v\;dA=\int_{\overrightarrow{\partial D}}v\cdot\; dr\end{displaymath}$

與空間上的

Stokes 氏定理

$\begin{displaymath}\int\int_{\overrightarrow{S}}\mbox{curl} v\cdot n\; dS=\int_{\overrightarrow{\partial S}}v\cdot\; dr\end{displaymath}$

散度定理 (divergence theorem)

$\begin{displaymath}\int\int\int_E \mbox{div}v\;dV=\int\int_{\partial E}v\cdot n\;dS\end{displaymath}$

微積分基本定理中，左邊的積分是函數 f'(x) 在一度空間 R¹ 中的一個區間 [a,b] 上的積分，而右邊是函數 f(x) 在 [a,b] 的兩個端點 a 與 b 上的取值。Green 氏定理是上述定理在2度空間 R² 上的一種推廣。這裡 D 是 R² 的一個正則區域，v 是一個連續可微分向量場， v = P(x₁,x₂)e₁ + Q(x₁,x₂)e₂，而 $\mbox{curl}v=\frac{\partial Q}{\partial x_1}-\frac{\partial P}{\partial x_2}$ （定義）。是 v 的某種微分， r = x₁e₁ + x₂e₂， $\overrightarrow{\partial D}$ 是 D 的有向邊界。

Green 氏定理是平面上的一個定理，而 Stokes 氏定理則把它推廣到三度空間中的二維曲面 S 上，這裡

$\begin{eqnarray*} v(x_1,x_2,x_3)&=&v_1(x_1,x_2,x_3)e_1+v_2(x_1,x_2,x_3)e_2+v_3(x... ...partial v_2}{\partial x_1}-\frac{\partial v_1}{\partial x_2})e_3 \end{eqnarray*}$

散度定理則是三度空間中的一個定理，這裡

$\begin{displaymath}\mbox{div} v=\frac{\partial v_1}{\partial x_1}+\frac{\partial v_2}{\partial x_2}+\frac{\partial v_3}{\partial x_3}\end{displaymath}$

在向量積分中我們有以下漂亮的定理：

定理A

設 D 為 R^N 中之一個開集，則對連續可微的向量場 w，存在唯一的純量場 v，使得

$\begin{displaymath}\int_D(uv+\nabla u\cdot w)dV=0\end{displaymath}$

對所有 u 都成立。而且如果 $w(x)=\sum_{j=1}^Nw_j(x)e_j$ ，則 $v(x)=\sum_{j=1}^N\frac{\partial}{\partial x_j}w_j(x)$ 。

定理B

設 v 是 R^N 上的一個連續向量場，且對所有 D 中的曲線 $\overrightarrow{C}$ ， $\int_{\overrightarrow{C}}v\cdot dr$ 與路徑無關，則在 D 上存在一個連續可微分的純量場 u 使得 $\nabla u(p)=v(p)$ 對所有 D 中的點 p 成立。這裡 $\nabla$ 是梯度算子， $\nabla u=\frac{\partial u_1}{\partial x_1}e_1+\cdots+\frac{\partial u_N}{\partial x_N}e_N$ 。

以上粗略的說明中，對於函數的連續性以及集合的拓樸性質均有所忽略，讀者可參考教科書上的說明。

對外搜尋關鍵字：
．微積分基本定理
．Green氏定理
．Stokes氏定理
．散度定理

（撰稿：林聰源∕清大數學系）

相關網頁：

從醉月湖的面積談起（蔡聰明）

Green 定理與應用（林琦焜）


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編輯：李渭天

最後修改日期：8/30/2001