由國中數學知道，有理數的小數表示必然是有限小數或循環小數，但是小數（包括所有的無限小數）全體顯然遠遠超過這兩類特殊的小數。小數的全體我們稱為實數，從幾何直觀（或用十分逼近法），我們相信實數會真正地佈滿數線，這個實數特有的性質稱為實數的完備性。

從歷史上看，實數的建構可以遠溯至 Eudoxus 的幾何想法──將數與長度建立關連。十九世紀下半期，由於分析嚴格化的要求，陸續有幾種等價的實數理論推出：Dedekind 利用有理數上的切 (cut)；Weierstrass 利用區間套疊 (nest of interval)；Cantor 運用有理數的 Cauchy 數列等方式來定義實數。

（撰稿：翁秉仁／台大數學系）

相關網頁：

實數的完備性（楊維哲）

點有多大（蔡聰明）

留言（若有指正、疑問……可利用這裡留言）