π

圓周率

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π 這個數字，在許多地方都會出現，在歷史上引起了無數的故事。

早期，人們發現

圓周長：直徑＝常數

這個常數，就是圓周率 π。

對π作估計，人們得到越來越精確的數值，從早期巴比侖人的 $3\frac{1}{8}$ 到阿基米德利用圓內接正多邊形，計算其邊長，而得到

$\begin{displaymath}3\frac{10}{71}<\pi<3\frac{1}{7}\end{displaymath}$

第五世紀時，祖沖之和他兒子祖 [日恆] 發現

$\begin{displaymath}3.1415926<\pi<3.1415927\end{displaymath}$

這麼精確的結果，歐洲直到十六世紀才得到。

終究到了1882年，Lindermann 證明了 π 的超越性，在證明中，他用到了歐拉定理：

$\begin{displaymath}e^{i\pi}+1=0\end{displaymath}$

現在我們可以用嚴格的分析方法定義 π，而導出所有其他與 π 有關的式子。譬如說，我們要算單位圓的面積：

$\begin{eqnarray*} A = 4\int^1_0 \sqrt{1-x^2}dx& &\\ \int^1_0 \sqrt{1-x^2}dx&=... ...&=&\int^1_0 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}-\int^1_0 \sqrt{1-x^2}dx\\ \end{eqnarray*}$

所以

$\begin{eqnarray*} \int^1_0\,\sqrt{1-x^2}dx &=& \frac{1}{2}\int^1_0\,\frac{dx}{\s... ...in^{-1}0)\\ &=&\frac{1}{2}(\frac{\pi}{2}-0)\\ &=&\frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$

所以

$\begin{displaymath}A=\pi\end{displaymath}$

出現 π 的幾個實例：

$\begin{eqnarray*} \frac{\pi^2}{6}&=&\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\c... ...{1}{2}(1+\sqrt{\frac{1}{2}(1+\sqrt{\frac{1}{2}})})}\times\cdots} \end{eqnarray*}$

機率論中也會出現 π。Buffon 在1777年提出下列問題：將一長度為 L 的針任意投擲在一水平面上，此平面上畫滿了平行線，其間的距離為 d（d 大於 L），那麼針與其中一線相交的機率為何？答案是 $P={\displaystyle \frac{2L}{\pi d} }$ 。

對外搜尋關鍵字：
．圓周率
．阿基米德
．祖沖之
．Lindermann
．Buffon

（撰稿：林聰源∕清大數學系）

相關網頁：

你知道超越數嗎？（林聰源）

關於圓周率π （余文卿）

中國π的一頁滄桑（洪萬生）


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編輯：李渭天

最後修改日期：9/18/2001