談分析與綜合法

　1│2│3│4│5│6│7│8　

首頁 | 搜尋

．原載於科學月刊二十五卷十一期
．作者當時任教於台大數學系

談分析與綜合法

蔡聰明

分析與綜合的意義
歐氏幾何
解析術與解析幾何
分析學
線性代數
完形派的觀點
刻卜勒定律與萬有引力定律
科學或數學有沒有發現的理路？

如果我們相信任何複雜的事物或事理都是由一些基本的要素組成的，則自然就衍生出分析與綜合的研究方法。先利用分析方法找出基本要素，然後再用綜合方法由基本要素去組合成複雜的事物。從而達到對事物或事理的結構之澄清與了解，並且引伸出「以簡馭繁」的要領。本文我們試圖闡明分析與綜合法在數學與科學中所扮演的角色。

作為一個重要的科學方法，分析與綜合法 (the Method of Analysis and Synthesis)在數學的發展史上，扮演著主導的角色。幾乎每一個數學分支都有它的蹤跡，有的甚至還以它來命名，例如綜合幾何、解析幾何、分析學、調和分析等等。

本文我們要闡明分析與綜合法的各種意思，以及它跟各支數學發展的關連。例如，微積分及其後續發展為何叫做分析學？

分析與綜合的意義

對於事物與事理的剖析，分別產生了「本義的」與「引伸的」分析與綜合法這兩層意思。

對外搜尋關鍵字：
．不可共度
．畢氏學派
．利瑪竇
．徐光啟
．Vieta
．Wallis
．Descartes
．Fermat
．the method of exhaustion
．牛頓
．微積分根本定理
．Taylor
．Fourier
．刻卜勒
．Euclid

本義的的分析與綜合法

由查字典得知：分析就是將事物「分解成簡單要素」 (resolution into simple elements)，綜合就是「組合、結合、湊合在一起」(combination, composition, putting together)。換言之，將事物分解成組成部分、要素，研究清楚了再湊合起來，事物以新的認知形貌來展現。這就是採用了分析與綜合的方法。下面我們舉幾個例子來說明。

古人面對大自然的森羅萬象、生成變化，想要探求其原因。於是去追究「物質的結構」(the structure of matter)，透過「想像的實驗」(gedanken experiment)，提出了「原子論」學說(atomism)：物質經過逐步的分割，在很大的有窮步驟之內，就會到達不可分割 (indivisible) 的境地，不可分割就叫做原子 (atom)，這是本義的分析；反過來，原子的不同排列與組合就形成了各種物質，這是綜合。原子論大師德謨克利特斯 (Democritus) 說：「萬有都是原子組成的。只有原子與虛空才是最終的真實 (the ultimate reality)，其餘的都是意見 (opinions) 而已。」

在綜合的過程中，順便也解釋為什麼會發生各種現象。例如，水為什麼會有氣態、液態與結冰之三態呢？這是因為原子的不同排列所致。為什麼有些東西是甜的，因為組成這種東西的原子非常圓滑，上述解釋現在看起來，雖然有點可笑，但是古人長久處在以超自然的神話觀來解釋世界的情況下，敢於改用物質的原因來解釋自然現象，這在科學發展史上，是了不起的一大步。

白色的光經過三稜鏡，分解成紅橙黃綠藍靛紫七色光；反過來，七色光又合成白色光。這就是光譜的分析與綜合。從而可解釋彩虹的成因。

分析一篇英文文章的結構，先是得到句子、單字，最後得到26個字母，反過來，綜合是由字母組成單字、句子，再由句子組成文章，這些是文法所要研究的題材。

笛卡兒 (Descartes) 在他的「方法論」中說：「將每一個問題盡可能地且恰如所需地分成許多部分，使得每一部分都可以輕易地解決。」這也是分析與綜合方法的展現。例如，求解一元二次方程式：

$\begin{displaymath} ax^2+bx+c=0, a\neq 0 \eqno{(1)} \end{displaymath}$

這含有無窮多個特殊的方程式，因為只要係數 a, b, c 取定一個值 ( $a\neq 0$ ) 就對應有一個方程式。

如何求解(1)式？我們分成下列兩種情形來討論：

(i) 當 b=0 或 c=0 時，(1)式變成 ax²=0 或 ax²+bx=0 或 ax²+c=0 這些方程式都很容易求解。

(ii) 當 $b\neq 0$ 且 $c\neq 0$ 時，這才是比較困難的情形。我們再分成由簡入繁的四種情形來思考：

(i₁) 可以用交叉相乘法求解的情形。例如

x²-5x+6=0

我們觀察到：

$\begin{displaymath} \begin{tabular}{cccc} 1 & & -2 & \\ & $\times\ $ & & \\ 1 & &$-$3& \\ \hline (-2) & $+$ & $(-3)$ & $=-5$ \end{tabular}\end{displaymath}$

所以 (x-2)(x-3)=0

$\begin{displaymath} x=2 \mbox{{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 67}} x=3 \end{displaymath}$

(i₂) 可以化成完全平方的情形: $(x+\alpha)^2=0$ 。例如

$\begin{eqnarray*} && x^2+2x+1=0, \\ && (x+1)^2=0, \end{eqnarray*}$

所以

$\begin{displaymath} x=-1 (\mbox{{\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \cha... ...us0.1pt{\fontfamily{cwM6}\fontseries{m}\selectfont \char 59}}) \end{displaymath}$

(i₃) 可以化成 $(x+\alpha)^2=\beta$ 的情形。例如

x²+6x+7=0

可以變形成

$\begin{eqnarray*} && x^2+2\cdot 3 x+3^2-2=0 \\ && (x+3)^2=2 \end{eqnarray*}$

所以

$\begin{displaymath} x=-3\pm\sqrt{2} \end{displaymath}$

(i₄) 一般情形：ax²+bx+c=0，( $a\neq 0$ ) 由於 $a\neq 0$ ，故上述方程式等價於

$\begin{displaymath}x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0 \eqno{(2)}\end{displaymath}$

仿上例的情形，這又可以化成(i₃)的形：

$\begin{eqnarray*} && x^2+2\cdot\frac{b}{2a}x + (\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2+\frac{c}{a}=0 \\ && (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2} \end{eqnarray*}$

所以

$\begin{displaymath} x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\eqno{(3)} \end{displaymath}$

這種式子的變形過程叫做「配方法」。

綜合起來，所有的一元二次方程式都解決於(3)式的普遍公式。

引伸的分析與綜合法

對於「事理」的結構如何剖析呢？一個敘述 (statement) 或命題 (proposition) 如何找到支持的理由？

在數學中，一個公式、定理或猜測總是以命題「若 p 則 q」的形式來出現，其中 p 叫做前提或假設，q 叫做結論。如何證明或否證一個命題呢？

所謂「證明」就是要找出從 p 連結到 q 的一條邏輯通路，這有時可真不容易，因為「真理往往藏得很深」。古希臘人想出一種「倒行逆施」的辦法：由結論q切入，即假設q成立，投石問路一番，看看能夠引出什麼結果，這就是所謂的分析法；等到抓得要緊的理由後，再回過頭來作演繹式的綜合，完成證明。

分析與綜合有各種的「主題變奏」(variation of the theme)：

(i)由 q 出發，推導出邏輯結果 r；如果 r 是矛盾的，那麼 q 就被否定掉，這叫做歸謬法 (reductioad absurdum)。例如，假設 n 是最大的自然數，由於 n² 也是自然數，故 $n^2 \leq n$ 。又因為一個自然數的平方必變大，故 $n \leq n^2$ 。於是 n² - n = 0，解得 n=0 或 n=1。因為 0 不是自然數，所以 1 是最大的自然數。這顯然是一個荒謬的結論。因此，自然數沒有最大元，是無界的。

同理， $\sqrt{2}$ 為無理數以及質數有無窮多個，也都可以利用歸謬法加以證明。

歸謬法是分析法的副產物。古希臘人非常看重它，因為它可以節省綜合的步驟，分析法本身就已完成了命題的證明。英國數學家哈第 (Hardy) 稱歸謬法為「棄盤戰術」，是數學家的「精緻武器」。

數學史家薩波 (Szabo) 認為，古希臘人利用歸謬法發現了不可共度線段，才促使希臘幾何走上演繹的形式。

(ii)由 q 出發，推導出一連串的邏輯結論，終於抵達一個已知成立的結論 r 或前提 p，那麼 r 或 p 就是 q 的必要條件。如果上述的每一個步驟皆可逆，則由 r 或 p 就可以推導出 q。因此，r 或 p 又是 q 的充分條件。既是充分條件又是必要條件，就簡稱為充要條件。

例如：若 $a, b \geq 0$ ，則 $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$ 。由結論切入：

$\begin{eqnarray*} \frac{a+b}{2}& \geq & \sqrt{ab} \\ \rightarrow \; \frac{(a+b)... ...; a^2+b^2 & \geq & 2ab \\ \rightarrow \; (a-b)^2 & \geq & 0 \\ \end{eqnarray*}$

最後一式顯然成立，因為對任何實數 x，恆有 $x^2\geq 0$ 。再配合 $a, b \geq 0$ 的前提，上述每一步驟皆可逆，於是逆推回去就完成了證明。

(iii)欲得q，只要p₁；欲得p₁，只要 p₂……；最後，欲得 p₀，只要 p。於是， $p \rightarrow p_n \rightarrow \cdots p_1 \rightarrow q$ 。

例如，在圖一 $\bigtriangleup ABC$ 中，設 P 為 AB 邊上的一點，過 P 點求作一直線將 $\bigtriangleup ABC$ 的面積平分成兩半。

圖一

先考慮特例，如果P點在三角形的一頂點上，比如在A點上，那麼只要取BC的中點M，連結AM即為所求。

其次，如果P為AB之內點，並且假設PQ為所求，參見圖一，這只需 $\bigtriangleup AEP$ = $\bigtriangleup MEQ$ ，而這又只需 $\bigtriangleup APM$ = $\bigtriangleup PMQ$ ，亦即此兩三角形同底等高，所以只需作AQ使得 $AQ\parallel PM$ 就好了。「倒行逆施」的幾何分析法(geometric analysis)至此完成。

接著是作綜合：取 M 為 BC 之中點，過 A 點作一直線平行於 PM 且交 BC 於 Q 點，連結 PQ 即為所求。

換句話說，所謂分析法就是由一個敘述或猜測 A 出發，假設它成立，然後推導出一系列的結果：

$\begin{displaymath} A\rightarrow B \rightarrow C \rightarrow \cdots \rightarrow K \eqno{(4)} \end{displaymath}$

如果 K 是錯誤的或矛盾的，那麼立即就否定掉A，這叫做歸謬證法。如果己知K是成立的，那麼K就是A的一個必要條件，此時A可能成立也可能不成立；如果(4)式的每一步皆可逆，那麼

$\begin{displaymath}K \rightarrow \cdots \rightarrow C\rightarrow B \rightarrow A \end{displaymath}$

我們由K就證明了A，這叫做綜合。此時K又是A的充分條件，於是A與K互為充要條件。

亞里斯多德已經指出來，由錯誤的前提可以推導出荒謬的結論，也可以推導出正確的結論。

例如，英國著名數學家羅素 (B. Russell) 有一次在宴會上，大家給他出一個難題，要他證明 Russell=Pope（當時的教宗）羅素立即證明如下：

$\begin{eqnarray*} 0 &=& 1\\ \Rightarrow 1 &=& 2\\ \end{eqnarray*}$

因為 Russell 與 Pope 是2個人，所以 Russell 與 Pope 是1個人。這跟希柏特 (Hilbert) 的名言：「如果 0=1，則女巫從煙囪飛出來」，異曲同工。

當我們斷言：「若p則q」( $p\Rightarrow q$ )，什麼時候這個斷言錯誤？例如，我許下一個諾言：「如果我領薪水，則我請客」，這只有在我領了薪水（p成立），而我沒有請客（即q不成立），才算我食言，其他情形我都沒有違背諾言。換言之，條件式「p $\Rightarrow$ q」的真值表如下：

$\begin{displaymath} \begin{tabular}{\vert c\vert c\vert c\vert} p & q & p $\Righ... ...& T \\ T & F & F \\ F & T & T \\ F & F & T \\ \end{tabular}\end{displaymath}$

因此，「如果 0=1，則三角形三內角和為 180°」，這是對的。另外，在正確的推理之下，前提的真必可保證結論亦真。

總結上述，由結論或所發生的結果或所觀測到的現象，要探求其原因，通常就用分析法;反過來，由原因推導出結果，完成證明或求得解釋，就是綜合法。德謨克利特斯說：「我寧可要尋得一個原因，而不要得到波斯帝國。」(I would rather discover one cause than gain the kingdom of Persia.)

一般而言，綜合較單純且平凡，分析較複雜且多變。在算術中已有許多例子，例如已知雞有17隻，兔有13隻，則雞兔總共有30隻，腳有86叟，這可以看作是平凡的綜合；反過來，已知雞兔一共有30隻，腳共有86隻，要問雞兔各有幾隻，這就是小學生最感困難的雞兔同籠問題，是展現分析法的好題目，最好的解題辦法是代數方法。另外，算術根本定理更是分析與綜合法的產物。

　1│2│3│4│5│6│7│8　


	（若有指正、疑問……，可以在此留言或寫信給我們。）

EpisteMath (c) 2000 中央研究院數學所、台大數學系
各網頁文章內容之著作權為原著作人所有

編輯：洪瑛 ∕ 繪圖：簡立欣

最後修改日期：2/17/2002