不管數學是什麼，數學家在繼續推展它的範圍。最奇妙的，是新數學得到不能想像的應用。數學工作的主要目的，是了解新數學的性質，尤其是它與傳統數學不同的地方。結果把奧妙變為常識，複雜變為簡單。數學便成為科學的有力而不可缺少的工具。
茲舉數學在歷史上的若干進展為例：
一、一本劃時代的書是歐幾里得（Euclid，約 300 B.C.）的《幾何原本》。它把空間的幾何性質，從一組公理出發，用邏輯推得。歐書範圍其實不限於幾何。這本書把數學建為一項系統的學問，不再是一堆彙集的問題。歷史上有一段時間，歐書也用來練習推理，成為一本通俗的教科書。
二、歐書討論的範圍，限於平面上的直線、圓周和空間的相當圖形。等到笛卡兒（Descartes, 1596∼1650年）引進解析的方法，便可研究平面上由任意方程
F(x,y)=0
所定的曲線。幾何的範圍擴大了！但任意曲線或任意函數的研究要等牛頓 （Newton, 1642∼1727年）和萊布尼茲（Leibniz, 1646∼1716年）發現微積分，才特別有效。這個時期另一個重要的數學家是費瑪（Fermat, 1601∼1665年）。他同時發現了許多解析幾何和微積分的觀念，可惜他在生前未曾發表。
三、微積分的一個基本新觀念是無窮：無窮大或無窮小。由無窮便引到極限。澄清這些觀念不是一件容易的事，費了數學家約兩百年的時間。它牽涉到實數系統、拓樸和數學的基礎。一個關鍵的人物是康托（Cantor, 1845∼1918年）。他的「點集論」獨創新意，高瞻遠囑，為數學立了基礎。
四、數學上另一個基本概念是「群」。最早的問題是解代數方程，要把任意方程
的根，表為係數的只含根號的函數。要回答這個問題，需要群的觀念。最先認清這個關係的，是法國的年輕數學家伽羅瓦（Galois, 1811∼1832年，參閱本刊十四卷九期〈伽羅瓦短暫的一生〉）。群的觀念從此深入到每個數學領域。
在幾何方面有變換群。歐氏空間的全體運動組成一個群。其他還有投影變換群、等角變換群等。這種群是無限的，它的元素組成一個空間。他們都是李群的特例。創始人 Lie（1842∼1899年）是挪威的數學家。李群是數學上一個基本的概念。
有限群的研究是很困難的。要了解它們的結構，數學家把它們分解為單群。但是單群並不簡單：有許多極大的有限單群。當代領袖的代數學家說：有限的單群已經完全確定了。可是這個定理的證明，需要二千頁，也還沒有人把它完全寫下來。
五、上面說過，解析幾何推廣圖形的範圍。最普通的一個情形，是在 n 維空間 Rn 內，討論一組方程式
其中
 是 Rn 的坐標。這是一個內容極為豐富的課題。如果 Fi 是多項式，這是代數幾何。高斯當年研究了 n=3,m=1 的情形，即歐氏空間的曲面論。他的一篇論文是微分幾何奠基的文章。他著重於曲面的參數表示。這個想法引到流形的基本觀念，在近代數學占有中心的位置。
流形把空間的觀念擴大了。在微分流形上可以用微積分的工具，實施種種運算。這個發展使微分幾何成為數學的一個中心領域。
六、請容許我談一點同我個人工作有關的一個方面，即所謂纖維叢和連絡。我們有種種特殊的空間，如歐氏空間、矢量空間、仿射空間等等，我們也有一般的拓樸空間。前者有深刻的性質，後者富於普遍性。纖維叢是把兩者串連起來的一個觀念。它是一個自然的發展，也十分有用。它有局部的性質和整體的性質。前者容易描寫和度量，後者選出重要的性質。纖維叢的現象，出現於數學的各部門和理論物理。
物理上有四種力：核力、電磁力、重力和弱力。現在大家公認：這四種力的能都是規範場。纖維叢的連絡是規範場論的數學基礎。
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