萊布尼茲的微積分

．原載於科學月刊第十七卷第三期
．作者當時任教於台大數學系

萊布尼茲的微積分

曹亮吉

我們談過了牛頓如何突破微積分（參閱〈牛頓如何突破微積分學〉），現在再來看對微積分一樣有決定性貢獻的萊布尼茲，他的微積分又是什麼樣子。

萊布尼茲（Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646～1716年）生於來比錫，早歲聰慧，十五歲就進來比錫大學，十七歲畢業，二十一歲（1667年）又從紐倫堡的 Altdorf 大學得到博士學位。學生時代的萊布尼茲主要的興趣在於邏輯、哲學與法律。

畢業後，萊布尼茲進入 Mainz 大選侯的政府。1672年到1676年這段時間，他因外交任務的關係滯留在巴黎，也就在這段時間內，他遇到著名的物理學家 Huygens（Christiaan, 1629～1695年），引起了他對數學的興趣，而投入微積分學的創造，1676年萊布尼茲回到德國，安頓了下來，成為 Hanover 大選侯的顧問及圖書館主管。

雖然萊布尼茲在巴黎時就得到很多微積分的結果，他在這方面第一篇重要的著作〈求極大小值及切線的新方法〉，卻要到1684年才發表在來比錫的一份雜誌《Acta Eruditorum》上。在這篇文章中，他引進了微分式，給了微分式的四則公式：

$\begin{eqnarray*} d(u \pm v) &=& du \pm dv \\ d(uv) &=& vdu+udv \\ d(\frac{u}{v}) &=& \frac{(vdu-udv)}{v^2} \end{eqnarray*}$

並說明得到極值的條件是 dv=0，得到迴轉點（反曲點）的條件是 ddv=0。在此之前，微分的計算都是個案的；有了萊布尼茲的微分公式，則只要知道簡單函數的微分，其他由簡單函數經四則運算合成的複雜函數，其微分也就輕易算得，難怪萊布尼茲會為此新方法感到興奮不已。

第二年（1685年），牛頓的一個學生 Craig（John, 1660?～1731年）寫了一本數學書，提到萊布尼茲的微分學，認為一定有更多的結果還未發表。再過一年（1686年），萊布尼茲在《Acta Eruditorum》發表了〈論一深度隱藏的幾何學及無窮小與無窮大的分析〉一文，為 Graig 的書做書評，並趁機推出更多的萊氏微積分，在這篇文章中，萊氏積分符號 $\int$ 正式登上數學史的舞台。他借用 Graig 所提到有關牛頓的老師 Barrow（Issac, 1630～1677年）的一個定理，來展示萊氏微積分學的威力。這個定理用現代的語言來說明是這樣的：如圖一，設曲線通過原點，從曲線上任一點 P(x,y) 作法線交 x 軸於 N，從 P 點的垂足 H 到 N 的距離 v（稱為次法線）是 x 的函數，其從 O 到 x 的面積為 $\frac{1}{2}y^2$ 。

圖一

萊布尼茲的想法是這樣的：在 P 點無窮小鄰近取曲線上一點 Q，以 PQ 為「斜邊」做一「特徵（直角）三角形」 $\triangle PQR$ ，其兩股 PR、QR 為無窮小變化量 dx,dy。則 $\triangle PQR$ 與 $\triangle PNH$ 相似，因此 vdx=ydy。從這個「微分」方程式，馬上就得

$\begin{displaymath} \int_0^x v dx = \int_0^x y dy = \frac{1}{2} y^2 \eqno{(1)} \end{displaymath}$

此外，在這篇文章中，他還說圓弧之長及擺線等非代數函數都可用積分的方式表示出來。

圖二

在積分的技巧方面，萊布尼茲是以善用特徵三角形出名的。特徵三角形的想法可溯至Pscal（Blaise, 1623～1662年）處理圓球表面積的工作。如圖二，在半徑為 r 的圓上，取鄰近的兩個點 P、Q。因特徵三角形 $\triangle PQR$ 與 $\triangle AOB$ 相似，所以 PQ:AO=PR:AB。若以 ds 表弧長 $\stackrel{\frown}{PQ}$ （亦即特徵三角形的斜邊 PQ），就得 yds=rdx。因為 $2 \pi yds$ 代表弧長 ds 繞 x 軸一圈所得的表面積，其積分

$\begin{displaymath} \int 2 \pi y ds = \int_{-r}^{r}dx = 4 \pi r^2 \end{displaymath}$

就是圓球的表面積。

萊布尼茲在巴黎時，Huygens 介紹他讀 Pascal 的文章；萊氏在研讀 Pascal 的這段證明時，突然靈光一閃，發現在一般曲線的場合，法線代替了半徑，也可以算得旋轉體的體積：如圖一所示。從兩個三角形的相似，我們也可以得到 yds = ndx，因此

$\begin{displaymath} \mbox{{\fontfamily{cwM5}\fontseries{m}\selectfont \char 236}... ...ctfont \char 9}} = \int 2 \pi yds = \int 2 \pi n dx \eqno{(2)} \end{displaymath}$

這兩個三角形相似的另一用法就是(1)式。由於

$\begin{displaymath} v=y\frac{dy}{dx} \eqno{(3)} \end{displaymath}$

所以為了求得一函數 v(x) 的積分，我們只要找到 y=f(x)，使得(3)式成立就好了。譬如，v(x)=xⁿ 時，我們可以試 f(x)=bx^m。則因 $\frac{dy}{dx}=mbx^{m-1}$ ，

$\begin{displaymath} y\frac{dy}{dx}=mb^2x^{2m-1}=v(x)=x^n \end{displaymath}$

所以取 $m=\frac{1}{2}(n+1)$ , $b^2=\frac{1}{m}$ 就好了。如此就得

$\begin{displaymath} \int x^ndx= \frac{1}{2} y^2 = \frac{1}{2}b^2x^{2m}=\frac{1}{n+1}x^{n+1} \end{displaymath}$

(3)式與(1)式合起來看，我們就得

$\begin{displaymath} \int y (\frac{dy}{dx}) dx = \int ydy \end{displaymath}$

這正是積分中變數代換的一個例子。

圖三

特徵三角形還可以和其他的三角形相似。譬如在圖三中，PT 為切線，AB 為高度固定為 a。由 $\triangle PQR$ 與 $\triangle TRB$ 兩三角形相似，就得

$\begin{displaymath} ds:dx:dy=t : \tau : a \end{displaymath}$

因此，譬如說，我們可以得到

$\begin{displaymath} \int ds = \frac{1}{a} \int tdy \end{displaymath}$

而把計算弧長的問題轉變為計算面積的問題。

圖四

然而下面這種相似三角形取法更有用。如圖四，設切線交 y 軸於 Z(o,z)，從 O 到切線的垂足為 H，垂線 OH 長為 h。從 $\triangle PQR$ 與 $\triangle OZH$ 兩三角形的相似，可得 hds=zdx，亦即

$\begin{displaymath} \triangle OPQ = \frac{1}{2} hds = \frac{1}{2}zdx \eqno{(5)} \end{displaymath}$

因此由

$\begin{displaymath} \int_a^b ydx = \triangle OBb + \mbox{{\fontfamily{cwM5}\font... ...y{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 36}}OAB - \triangle OAa \end{displaymath}$

就得

$\begin{displaymath} \int_a^b ydx= \frac{1}{2} \big[ (xy) \big\vert _a^b + \int_a^b zdx \big] \eqno{(6)} \end{displaymath}$

因為

$\begin{displaymath} z = y -x\frac{dy}{dx} \eqno{(7)} \end{displaymath}$

把其中的 y 做一次分部積分 (integration by parts)，(6)式就變成

$\begin{displaymath} \int_a^b ydx = (xy) \big\vert _a^b - \int_a^b xdy \eqno{(8)} \end{displaymath}$

這正是我們常見的分部積分公式。

圖五

(6)、(7)兩式的合用是萊布尼茲計算積分的主要方法。他宣稱由此可以得到所有前人已知的積分；圓周率的計算是這種方法成功的例證。如圖五，圓的方程式為 $y=\sqrt{2x-x^2}$ ，

$\begin{displaymath} z= y - x \frac{dy}{dx} = y - x\frac{1-x}{y}= \sqrt{\frac{x}{1-x}} \end{displaymath}$

由此可得 $x=\frac{2z^2}{1+z^2}$ ，因此

$\begin{displaymath} \begin{eqalign} \int_0^x ydx &= \frac{1}{2} (xy) \big\vert _... ...\frac{1}{5}z^5+\frac{1}{7}z^7- \cdots) \end{eqalign}\eqno{(9)} \end{displaymath}$

取 x=1，就得以萊布尼茲為名的著名公式

$\begin{displaymath} \frac{\pi}{4}=\int_0^1 ydx = 1 - \frac{1}{3}+ \frac{1}{5}- \frac{1}{7}+ \cdots \eqno{(10)} \end{displaymath}$

若將(9)式重寫成

$\begin{displaymath} z+ \int_0^x zdx - \frac{1}{2}x(y+z) = z-\frac{1}{3}z^3 + \frac{1}{5}z^5-\frac{1}{7}z^7+ \cdots \end{displaymath}$

而且注意到 z ( $=z \cdot 1$ ) 正好是四邊形 ZOCP（看成是兩個全等三角形 $\triangle ZOC$ 、 $\triangle ZPC$ 之和）的面積， $\frac{1}{2} x(y+z)$ 是梯形 ZPHO 的面積。兩者相減，再加上曲線 OP 下的面積 $\int_0^x ydx$ ，等式的左邊正是扇形 COP 的面積，而此面積為

$\begin{displaymath} \frac{1}{2} \angle PCO =\angle ZCO = tan^{-1} z \end{displaymath}$

如此我們就得到反正切函數的展開式

$\begin{displaymath} tan^{-1} z =z-\frac{1}{3}z^3+\frac{1}{5}z^5-\frac{1}{7}z^7+ \cdots \eqno{(11)} \end{displaymath}$

[請注意：牛頓與萊布尼茲得到 tan^-1 z 的展開式都不是先知道其微分為 $\frac{1}{1+z^2}$ ；請參閱上一期本欄，〈牛頓如何突破微積分學〉。]

在牛頓、萊布尼茲之前，微分及積分的計算都是個案的。萊氏不但提供了微分的方法，也提供了積分的方法，而積分的公式，實際上都是利用特徵三角形所得的「微分」方程式轉過來的；也就是說他體會到求積的問題可從曲線的切線性質著手，而且也善於應用微積分基本定理──他曾於1693年在《Acta Eruditorum》發表微積分基本定理。此外他的微積分符號不但使人很快了解微積分的內涵，也使人在微積分的計算上得心應手，因此萊布尼茲的微積分掩蓋了牛頓的，而成為日後微積分學的主流。有了這些貢獻，萊布尼茲自然也成了微積分的創始人之一。

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最後修改日期：5/31/2002