牛頓如何突破微積分學

．原載於科學月刊第十七卷第二期
．作者當時任教於台大數學系

‧註釋

牛頓如何突破微積分學

曹亮吉

誰都知道牛頓（1642～1727年）是微積分最重要的締造者，但前有古人，後有來者，牛頓式的微積分到底是什麼樣子卻是饒富趣味的一個問題。積分的觀念可遠溯到阿基米德。遠的不說，從十七世紀初期到牛頓進入微積分歷史之前，還有 Fermat、Wallis 等人做了些微積分學的開展工作。和牛頓同時及稍後的，還有萊布尼茲、第一代的 Bernoulli 世家等微積分人物。牛頓以後，微積分繼續發展，領域擴張了。外貌也變了，一直到一百五十年後的十九世紀下半葉才定型。如果牛頓再生，拿起現代的微積分課本，他一定要好一陣子才會習慣於課本的表現方式；參加微積分考試，也可能有好幾題題目看不懂。

牛頓在微積分方面的第一件重大發現就是二項展開式，而且也就是二項展開式使他在微積分方面有了重大的突破。

正整數指數的二項展開式

$\begin{displaymath} (1+x)^n = 1+ {n \choose 1} x + {n \choose 2} x^2 + \cdots + {n \choose n} x^n \end{displaymath}$

早在牛頓之前就知道了，用它來求 f(x) = xⁿ，的微分也是前人就已經知道的事（用現代的符號）

f'(x)	=	$\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{x^n(1+\frac{h}{X})^n-x^n}{h}$
	=	$\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{x^n(1+\frac{nh}{x}+h^2(\cdots))^n-x^n}{h}$
	=	$\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0}\frac{nhx^{n-1}+h^2(\cdots)}{h}$
	=	$\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0}nx^{n-1}+h(\cdots) = nx^{n-1}$	(1)

1665年，牛頓發現了一般指數的二項冪級展開式：

$\displaystyle (1+x)^{\alpha}$	=	$\displaystyle 1+ {n \choose 1} x + {n \choose 2} x^2+ \cdots + {\alpha \choose k} x^k + \cdots$	(2)
$\displaystyle {\alpha \choose k}$	=	$\displaystyle \frac{\alpha(\alpha -1) \cdots (\alpha -k+1)}{k!}$	(3)

因此 $f(x) = x^{\alpha}$ 的微分也可依樣畫葫蘆，輕易求得；雖然 n 換成 α 後， (1)式中的 (…) 變成無窮項，但牛頓是不在乎的。

由 (1+x)ⁿ，似乎只是把 ${n \choose k}$ 變成無窮項，但事實上，當時對二項係數的了解並不是它的公式（當時沒有這樣的公式），而是它在 Pascal 三角形中為上面兩項之和這樣的關係。牛頓就是從這樣的關係，經過冗長的內插推演工作，而猜出公式(2)和(3)。

牛頓回憶說：「在1664與1665年間的冬天，我讀了 Wallis 的《Arithmetica Infinitorum》，也想用它的方法來尋找圓的面積，我發現一個求圓面積的無窮級數，以及另一個求雙曲線面積的無窮級數……。」

Wallis 知道

$\begin{displaymath} \frac{\pi}{4} = \int^1_0(1-x^2)^{\frac{1}{2}}dx \end{displaymath}$

(4)

而為了求得右邊的積分，他讓 p, q 在正整數中變化，計算

$\begin{displaymath} a_{p,q} = \int^1_0(1-x^{\frac{1}{q}})^p dx \end{displaymath}$

之值。他找到 a_p,q 之間的一些關係，然後用內插法，把這些關係推演而得一些 p、q 不是整數時的 a_p,q 之值。再經過非常複雜的過程，他終於推得

$\begin{displaymath} \frac{\pi}{4} = a_{\frac{1}{2},\,\frac{1}{2}} = \frac{2 \cdo... ...ot \cdots \cdot \frac{2n \cdot (2n+2)}{(2n+2)^2} \cdots\cdots \end{displaymath}$

(5)

牛頓考慮的是

$\begin{displaymath} f_n(x)=\int^x_0(1-x^2)^{\frac{n}{2}}dx \end{displaymath}$

當 n 為偶數時，f_n(x) 都可求得（為多項式），他再從這些多項式系數間（基本上是 Pascal 三角形）的關係，用內插法推演出 f₁(x) 的係數，而得

f₁(x)	=	$\displaystyle \int^x_0(1-x^2)^{n/2}dx$
	=	$\displaystyle x-\frac{\frac{1}{2}x^3}{3}-\frac{\frac{1}{8}x^5}{5}-\frac{\frac{1}{16}x^7}{7}-\frac{\frac{5}{128}x^9}{9} - \cdots$	(6)

因此

$\begin{displaymath} (1-x^2)^{\frac{1}{2}} = 1 - \frac{1}{2} x^2 - \frac{1}{8}x^4 - \frac{1}{16}x^6 - \frac{5}{128}x^8 \cdots \end{displaymath}$

(7)

牛頓與 Wallis 最大的不同處是，他把積分的上限由固定的數變成變數，因此得到冪級數的表示。在(6)中，讓 x=1 就得

$\begin{displaymath} \frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{6} -\frac{1}{40} - \frac{1}{112} - \frac{5}{1152} - \cdots \end{displaymath}$

(8)

而在(7)中，他注意到 (-x²)^k 的係數可表成為

$\begin{displaymath} \frac{1}{k!} \frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)(\frac{1}{2}-2) \cdots (\frac{1}{2}-k+1) \end{displaymath}$

由此推廣就得一般的二項冪級數展開式(2)、(3)。

當然，牛頓知道內插推演並不是證明；為了試驗他的結果，他把 $(1-x^2)^{\frac{1}{2}}$ 的冪級數展開自乘一次，結果發現除了 1-x² 外，餘項都消失了。他又把 $(1-x^2)^{\frac{1}{2}}$ 看成是一個數 1-x² 的開方，而用平常的開方法作形式上的開方，也得到同樣的冪級數展開式，這給了牛頓很大的信心：他不但確定二項展開式是對的，而且對冪級數用一般代數的方法來運算也就不再遲疑了。

(1)式的要緊處是分母 h 被約掉了。這在多項式是辦得到的；若把函數表成冪級數時也辦到了。現代的微積分課本，在處理三角函數的微積分時，都從正弦函數出發，而且無論是先做它的微分或先做積分，總免不了要處理 $\lim_{h \rightarrow 0} \sin \frac{h}{h}$ 。這裏的分母是約不掉的，所以這個極限值的處理就是現代三角學微積分的重點所在。我們不知道牛頓會不會處理它，但我們知道牛頓研究三角函數的微積分是從 $\sin^{-1}x$ 冪級數展開入手的。

圖一

如圖一，Q 為單位圓上的一點，QP 為垂線，P的坐標為 x ，則 $\angle QOP$ 為 cos^-1x，因此 $\theta = \angle QOR = sin^{-1}x$ ，而扇形 QOR 的面積正好是 $\frac{1}{2} \theta$ 。另一方面，扇形 QOR 的面積正好是曲線 RQ下的面積減去三角形 OPQ 的面積，因此

$\begin{displaymath} \sin^{-1}x = 2(\int^x_0 \sqrt{1-x^2}dx-\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2}) \end{displaymath}$

(9)

這時後，牛頓用上了 $(1-x^2)^{\frac{1}{2}}$ 的冪級數，再經逐項積分及兩級數的合併，他就得到

$\begin{displaymath} \sin^{-1}x = \sum^{\infty}_{n=1} a_{2n-1} x^{2n-1} \end{displaymath}$

(10)

$\begin{displaymath} a_{2n-1}=\frac{1^2 \cdot 3^2 \cdots (2n-3)^2}{(2n-1)!} , n \leq 2; a_1=1 \end{displaymath}$

(11)

假設 $x=\sin \theta$ 的冪級數為

$\begin{displaymath} x= \sin \theta =\sum^{\infty}_{n=0} b_m \theta^m \end{displaymath}$

(12)

將它代入(10)式，得

$\begin{displaymath} \theta = \sin^{-1}x = \sum^{\infty}_{n=1} a_{2n-1} (\sum^{\infty}_{m=0}b_m\theta^m)^{2n-1} \end{displaymath}$

(13)

比較兩邊 θ 次方的係數，就得

$\begin{displaymath} b_{2m} =0 , b_{2m-1}=(-1)^{m-1}\frac{1}{(2m-1)!} \end{displaymath}$

(14)

亦即

$\begin{displaymath} \sin \theta = \sum^{\infty}_{m=1} \frac{(-1)^{m-1}\theta^{2m-1}}{(2m-1)!} \end{displaymath}$

(15)

用類似的方法可得

$\begin{displaymath} \cos \theta = \sum^{\infty}_{m=1} \frac{(-1)^{m-1}\theta^{2m}}{(2m)!} \end{displaymath}$

(16)

由(15)、(16)兩式，用逐項微分及積分的辦法，牛頓得到正、餘弦兩函數的微分與積分，

$\tan^{-1}x$ 的冪級數也可用來計算圓周率，是微積分的重要課題之一，現代的微積分是

$\begin{displaymath} \tan^{-1}x = \int^x_0 \frac{dx}{1+x^2} \end{displaymath}$

(17)

出發，將二項式 (1+x²)^-1 以（幾何）冪級數展開，再逐項積分而得

$\begin{displaymath} \tan^{-1}x = x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7} + \cdots \end{displaymath}$

(18)

這樣做法的先決條件是知道 $\tan^{-1}x$ 的微分就是 $\frac{1}{1+x^2}$ ；但正好相反．牛頓在處理所謂「Agnesi 的女巫」 ^註1 $y = \frac{1}{1+x^2}$ 這種曲線下的面積時；先知道 $\frac{1}{1+x^2}$ 的積分就是 $\tan^{-1}x$ ，因此得到 tan^-1x 的冪級數(18)。

圖二

如圖二，設 OP、AQ 為一圓直徑 OA 兩端的切線，設 PQ 垂直於切線，而 OQ 交圓於 B，BC 平行於切線而交 PQ 於 C。若 P 為動點，則 C 的軌跡就是所要的曲線。若把 OP, QA 分別當成 x 與 y 軸，令 OA 的長度為1，P 點的坐標為 x，則 C 點的高度正是 $\frac{1}{1+x^2}$ ，這正是曲線的函數。而牛頓要計算的正是右式的積分。牛頓把變數換成 t=OB。由 OB:OQ = PC:PQ，可得

$\begin{displaymath} t = OQ \cdot PC = \sqrt{1+x^2} \cdot \frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \end{displaymath}$

或

$\begin{displaymath} x = \frac{\sqrt{1-t^2}}{t} \end{displaymath}$

圖三

因此

$\displaystyle \int^x_0\frac{dx}{1+x^2}$	=	$\displaystyle \int^t_1(\frac{-t^2}{\sqrt{1-t^2}} - \sqrt{1-t^2})dt$
	=	$\displaystyle \int^t_1 td\sqrt{1-t^2}-\int^t_1\sqrt{1-t^2}dt$
	=	$\displaystyle t \sqrt{1-t^2} \vert^t_1 - s \int^t_1\sqrt{1-t^2}dt$
	=	$\displaystyle t \sqrt{1-t^2} + 2 \int^1_t \sqrt{1-t^2}dt$	(19)

這個時候，請看圖三。設圓半徑 OD =1 , OE = t，則 $OD = \sqrt{1-t^2}$ 。因此上式的第一項為 $\triangle ODE$ 面積的兩倍，而第二項則為曲線 DF 下面積的兩倍。所以由上式可得

$\displaystyle \int^x_0\frac{dx}{1+x^2}$	=	$\displaystyle 2 ( \mbox{{\fontfamily{cwM5}\fontseries{m}\selectfont \char 109}\... ...0pt plus0.2pt minus0.1pt{\fontfamily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 9}} )$
	=	$\displaystyle \angle DOE = \tan^{-1}\frac{\sqrt{1-t^2}}{t} = \tan^{-1}x$	(20)

有了二項冪級數展開式，牛頓得以在微積分有所突破，一般冪級數也就變成了牛頓微積分的主要工具。微積分在他手中成了詮釋自然現象最犀利的工具。在現代的微積分課本中，冪級數只是其中的一章，而且是在整本書的後半，而二項展開式頂多是其中的一小節，甚至還可能不見蹤影，牛頓再生，當感嘆不己。

對外搜尋關鍵字：
．牛頓
．阿基米德
．Fermat
．Wallis
．萊布尼茲
．Bernoulli世家
．無窮級數
．冪級數


	（若有指正、疑問……，可以在此留言或寫信給我們。）

EpisteMath (c) 2000 中央研究院數學所、台大數學系
各網頁文章內容之著作權為原著作人所有

編輯：康明軒 ∕ 校對：鄧惠文 ∕ 繪圖：張秀惠

最後修改日期：5/31/2002